Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

1-teorema. Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan, uzluksiz sohada aniqlangan uzluksiz funksiya hamda o’zgarmas sonlar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsin, bu yerda

U holda shu oraliqda

tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
2-teorema. Agar oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya va o’zgarmas ( -juft son) sonlar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda

bo’lganda ushbu

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Agar bo’lsa bo’ladi.
3-Teorema. Faraz qilaylik funksiya segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lib, ushbu

integral tengsizlikni qanoatlantirsin.
Bu yerda sonlar, segmentda uzluksiz va
son shartni qanoatlantirsin, u holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.

va bo’lsa bo’ladi.
Uchinchi bob ikkinchi bobda isbotlangan integral tengsizliklar haqidagi yangi teoremalarning tadbiqlariga bag’ishlanadi.
Ushbu

yarim o’qda chiziqli bo’lmagan integro-differensial tenglamani qaraymiz. Bu tenglamaning

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan shug’illanamiz.
1-teorema. Faraz qilaylik
1) funksiya sohada funksiya esa sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar bo’lib, bundan tashqari

shartlar bajarilsin.
2) va funksiyalar argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi, ya’ni

bu yerda

deb hisoblanadi. U holda va

masala oraliqda yagona uzluksiz yechimga ega bo’ladi. Bundan tashqari aniq va taqribiy yechimlar orasidagi farq quyidagicha baholanadi.