Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

1.2 Yadrosi integrallanmaydigan Vo’lterra tipidagi singulyar integral tengsizlik.
1.2.5-teorema. Agar yarim o’qda aniqlangan, uzluksiz funksiya va o’zgarmas sonlar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda shu yarim o’qda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Xususiy holda, agar bo’lsa,

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli bilan isbotlaymiz. tengsizlikdan quyidagiga ega bo’lamiz:



Bu esa tengsizlikning o’rinli ekanini ko’rsatadi.
Agar bo’lsa, tengsizlik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Bundan, bo’lganda tengsizlik kelib chiqadi.
Integrallash chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan integral tengsizlik.
1.2.6-Teorema . Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya

Integral tengsizlikni qanoatlantirsin, bu yerda son, va U holda quyidagi tengsizlik ham o’rinli bo’ladi:

Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli bilan isbotlaymiz.



yoki


Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak, ya’ni desak oxirgi had nolga intiladi va

tenglikka ega bo’lamiz. Shuni isbot qilish kerak edi.
1.3 Chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan karrali integrallarni saqlovchi singulyar integral tengsizlik.
Bu paragrafda kelajak uchun bizga zarur bo’lgan singulyar integral tengsizliklar haqidagi teoremalarni isbotlaymiz.
2.1.1-teorema . Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan, uzluksiz sohada aniqlangan uzluksiz funksiya hamda o’zgarmas sonlar uchun

Tengsizlik o’rinli bo’lsin, bu yerda

U holda shu oraliqda

tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz

Bu tenglikni t bo’yicha differensiallaymiz, u holda

hosil bo’ladi. Bu tenglikning har ikkala tomonini ga bo’lamiz:

Agar bo’lganda va ekanligini nazarga olsak

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu tengsizliklarni dan gacha integrallab, quyidagini topamiz.

yoki

bundan

ekanligini nazarga olsak oxirgi tengsizlikdan isbot talab etilgan tengsizlik kelib chiqadi.
Chegaralaridan biri cheksiz va yadrolari integrallanmaydigan bo’lgan karrali integrallarni saqlovchi integral tengsizlik.
Endi chegaralaridan biri cheksiz va yadrolari integrallanmaydigan maxsus integral tengsizlikni o’rganamiz.