Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

2-teorema. Faraz qilaylik tenglamada va funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya

sohada, funksiya esa

sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar bo’lib, bundan tashqari

shartlar bajarilsin, bu yerda bo’lib, toq son deb hisoblaymiz.
2) funksiya ;

U holda integral tenglama yoki bari bir masala yagona uzluksiz yechimga ega bo’ladi.
Ushbu

chiziqli bo’lmagan Vol’terra tenglamasini qaraymiz. Bu yerda segmentda esa sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar deb hisoblaymiz. Ma’lumki funksiya D sohada argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirib sohada uzluksiz bo’lsa tenglama segmentda uzluksiz yechimga ega bo’ladi. Biz quyida holda tenglama yechimining mavjudligi, yagonaligi va ba’zi xossalarini o’rganamiz. Bunda funksiya to’g’ri chiziq bo’ylab uzulishga ega, lekin,

ya’ni segmentda integrallanuvchi.
3-Teorema. Faraz qilaylik funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz, funksiya esa sohada aniqlangan bo’lib argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsin:

Bundan tashqari

son.
U holda tenglama segmentda yagona uzluksiz yechimga ega bo’ladi.
4-teorema. Faraz qilaylik
1) funksiya

sohada, funksiya esa

sohada aniqlangan va

shartlar bajarilsin.
2) va funksiyalar argumenti bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsin


bu yerda

deb hisoblanadi. U holda shunday va sonlar mavjud bo’ladiki, oraliqda bo’lganda

tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.