1.2 Yadrosi integrallanmaydigan Vo’lterra tipidagi singulyar integral tengsizlik.
1.2.5-teorema. Agar yarim o’qda aniqlangan, uzluksiz funksiya va o’zgarmas sonlar uchun
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda shu yarim o’qda
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Xususiy holda, agar bo’lsa,
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli bilan isbotlaymiz. tengsizlikdan quyidagiga ega bo’lamiz:
Bu esa tengsizlikning o’rinli ekanini ko’rsatadi.
Agar bo’lsa, tengsizlik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
Bundan, bo’lganda tengsizlik kelib chiqadi.
Integrallash chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan integral tengsizlik.
1.2.6-Teorema . Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya
Integral tengsizlikni qanoatlantirsin, bu yerda son, va U holda quyidagi tengsizlik ham o’rinli bo’ladi:
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli bilan isbotlaymiz.
yoki
Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak, ya’ni desak oxirgi had nolga intiladi va
tenglikka ega bo’lamiz. Shuni isbot qilish kerak edi.
1.3 Chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan karrali integrallarni saqlovchi singulyar integral tengsizlik.
Bu paragrafda kelajak uchun bizga zarur bo’lgan singulyar integral tengsizliklar haqidagi teoremalarni isbotlaymiz.
2.1.1-teorema . Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan, uzluksiz sohada aniqlangan uzluksiz funksiya hamda o’zgarmas sonlar uchun
Tengsizlik o’rinli bo’lsin, bu yerda
U holda shu oraliqda
tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
Bu tenglikni t bo’yicha differensiallaymiz, u holda
hosil bo’ladi. Bu tenglikning har ikkala tomonini ga bo’lamiz:
Agar bo’lganda va ekanligini nazarga olsak
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu tengsizliklarni dan gacha integrallab, quyidagini topamiz.
yoki
bundan
ekanligini nazarga olsak oxirgi tengsizlikdan isbot talab etilgan tengsizlik kelib chiqadi.
Chegaralaridan biri cheksiz va yadrolari integrallanmaydigan bo’lgan karrali integrallarni saqlovchi integral tengsizlik.
Endi chegaralaridan biri cheksiz va yadrolari integrallanmaydigan maxsus integral tengsizlikni o’rganamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |