Sistemaning umumiy yechimi. Gauss usulining Gauss-Jordan modifikatsiyasi

2. Arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar va ularning xossalari

n o‘lchovli arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagicha bajariladi:

1. 
   Berilgan x va y vektorlarni qo‘shganda ularning mos koordinatalari qo‘shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
   
2. 
   Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko‘paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx₁; kx₂; …; kx_n).
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo‘ysinadi:

1) x + y = y + x; 5) (α + β) x = α x + β x;

2) x + (y + z) = (x + y) + z; 6) α (β x) = (α β) x;
3) x + (- y) = x – y ; 7) x + θ = x;
4) α (x + y) = α x + α y; 8) x 1 = x ,

bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.

3. 
   Arifmetik vektorlarning skalyar ko‘paytmasi. Vektor uzunligi
   

Skalyar ko‘paytma xossalari

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) va y = (y₁; y₂; …; y_n) arifmetik vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta’rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki
Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo‘yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:
yoki .
Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi quyidagi xossalarga bo‘ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).

4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko‘paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.

Tengsizlik bo‘yicha x va y vektorlar skalyar ko‘paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko‘paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko‘rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda

(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo‘lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:

R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

|x + y| ≤ |x| + |y|

tengsizlik o‘rinli.

Ermit, qo’shma, simmetrik, unitar matritsalar to’g’risida tushuncha.
Ushbu mavzuda maxsus xossalarga ega bo’lgan matritsalardan foydalanishga to’gri keladi . Shuning uchun avvalo shu matritsalarni ta’riflab o’tamiz .
Agar barcha i va j lar uchun bo’lsa (bu yerda ustidagi chiziq qo’shma kopelks soni bidiradi) elementlari dan iborat bo’lgan matritsaga nisbatan qo’shma matritsa deyiladi.
Agar A kvadrat matritsa o’zining qo’shmasi bilan ustma-ust tushsa ya’ni bo’lsa, u Ernit matritsasi yoki o’z-o’ziga qo’shma matritsa deyiladi. Elementlari haqiqiy sondan iborat bo’lgan Ermit matritsasi simmetrik matritsa deyiladi. Bu matritsa tenglik bilan aniqlanadi .
Agar
(1)
bajarilsa , u holda A unitar matritsa deyiladi , bu yerda E-birlik matritsa .
Unitar matritsa quyidagi xossalarga ega:
1) Agar A matritsa bo’lsa , u holda uni determenati moduli 1 ga teng bo’lgan kompleks sondir , haqiqatdan ham (1) ga ko’ra

2) Agar A unitar matritsa bo’lsa , u holda .
Buni isbotlash uchun (1) ni chapdan ga ko’paytirish kifoyadir.
3) Agar A unitar matritsa bo’lsa , u holda ham unitardir.
4) Ikkita unitary matritsalarning ko’paytmasi unitar matritsadir . Haqiqatdan ham , A va B unitar matritsalar bo’lsin , u holda
.
2. Kvadrat ildizlar metodining g’oyasi.
Endi kvadrat ildizlar metodini ko’rib chiqaylik . Faraz qilaylik , A Ermit matritsasi bo’lsin . Kvadrat ildizlar metodining g’oyasi A matritsani uchburchak va diagonal matritsalar ko’paytmasi shaklida tasvirlashdan iboratdir :

A=T*DT (2)

Bu yerda

yuqori uchburchak matritsa bo’lib , D esa elementlari +1 yoki -1 dan iborat bo’lgan

diagonal maritsadir .

T elementlarini topish uchun (2) tenglikdan, matritsalarni ko’paytirish qoidasiga asoslanib , larga nisbatan quyidagi tenglamlar sistemasini hosil qilamiz :

(3)
Bu yerda lar bilan o’zaro qo’shma kompleks sonlardir . (3) sistemada tenglamalarning soni noma’lumlarning sonidan n taga kam . (3) sistemadan lar yagona ravishda topilishi uchun larni shunday tanlab olamiz , lar haqiqiy va musbat bo’lsin . U vaqtda (3) sistemaning ikkita tenglamasidan i=j bo’ganda

ga ega bo’lamiz . Endi deb olib uchun ni hosil qilamiz . (3) sistemaning birinchi tenglamasidan i=1 bo’lganda (j=2,3,…,n) kelib chiqadi . Shunga o’xshash (3) sistemada i=2 bo’lganda avval ikkinchi tenglamadan ni so’ngra birinchi tenglamadan ni topamiz :





(j=3,4,…,n)
Shunday qilib , T ning avvalgi ikkita satr elementlarini toppish uchun formulalar chiqardik . Shunga o’xshash , T matritsaning qolgan elementlarini ham topamiz . Umumiy holda hisoblashlar quyidagi formulalar yordamida olib boriladi :



Shunday qilib , (2) yoyilma mavjud va (4) formulalar yordamida aniqlanadi . Nihoyat

Sistemani yechish uchun uni A=T*DT yoyilmadan foydalanib , quyidagi ikkita uchburchak matritsali sistemalar shaklida yozib olamiz:

Bu sistemalarni yozib olsak,

va

ga ega bo’lamiz. Bundan esa , ketma-ket quyidagilarni hosil qilamiz:

va

Agar A haqiqiy va simmetrik matritsa bo’lsa , bu matritsani bir-biriga nisbatan o’zaro transpotrlangan ikkta matritsalar ko’paytmasi shaklida yozish mumkin :

bu yerda T-yuqori uchburchak matritsa . Bu holda (4) formulalar bir oz soddalashib , ushbu ko’rinishga ega bo’ladi :

Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki , faqat A matritsa musbat aniqlangan bo’lgandagina T matritsaning diagonal elementlari haqiqiy va musbat bo’lishi mumkin . Aks xolda , T matritsa elementlari orasida komplekslari xam uchrab qolishi mumkin.

Uchbrchak matritsaning determinanti diagonal elementlari ko’paytmasi teng ekanligini e’tiborga olib , (2) yoyilmadan detA ni toppish uchun quyidagini hosil qilamiz :

Bu yerda q-EHM dagi mumkin bo’lgan eng katta songa , p-esa eng kichkina yaqin bo’lib , pq=1; lar T matritsaning absolyut qiymatlari bo’yicha birdan ortmaydigan elementlari , lar esa qolgan elementlaridir .

yoki
1-chizma
yoki
2-chizma
Bu metod yordamida xotirasi 4095 ta yacheykadan iborat EHM larda matritsa haqiqiy va simmetrik bo’lgan 88-tartibli sistemani yechish mumkin .
Kvadrat ildizlar metodi ko’pincha kuzatishlar natijasida eng kichik kvadratlar metodi bilan ishlab chiqqanda hosil bo’ladigan tenglamalarning normal sistemasini yechish uchun qo’llaniladi . Bunday sistema matritsaning bosh minorlari musbat bo’lgan Ermit matritsasi bo’ladi .
Bunday sistealarning tartiblari odatda bir necha yuz , xatto minglarga teng bo’lishi mumkin .
Odatda yuqori tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish nihoyatda murakkab masala . Shuning uchun ham har bir konkret masalaning ichki xususiyatlaridan foyalanish kerak . Masalan ko’p masalalar , shu jumladan , eng kichik kvadratlar metodi bilan transport masalani yechish matritsasi 1-chizmadagi ko’rnishga ega bo’lgan yuqori darajali algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi . Bunday sistemalarni kivadrat ildizlar metodi bilan yechish qulaydir . Haqiqatdan ham , faraz qilaylik , A Ermit matritsaning elementlari biror j va barcha lar uchun shartni qanoatlantirsin . U holda , (4) formuladan ko’rinadiki , ular mos bo’lgan elementlar ham nolga aylanadi . Shuning uchun ham , T matritsaning ko’rinishi A matritsaning o’ng yarmidek , ya’ni 2-chizmadagidek bo’ladi .
Nol elementar ustida amal bajarmasak , u holda hisoblash ishlari faqat tezlashibgina qolmasdan , balki yechladigan masalaning tartibini orttirish ham mumkin.
3. Berilgan simmetrik matritsaga ega bo’lgan sistemani kvadrat ildizlar metodi yordamida yechish .

MASALA:

Soddalik uchun simmetrik masalga ega bo’lgan quyidagi

Sistemani kvadrat ildizlar metodi bilan yechaylik.

YECHISH.
Sistemening koeffitsientlari va ozod hadlarni keltirilgan jadvalning A qismida joylashgan ustunni hisoblab chiqamiz. (7) va (5) formulalar yordamida ketma-ket elementlarni va yangi ozod had larni hisoblab , jadvalning qismini to’ldiramiz . Kontrol uchun har gal ustunni hisoblab turamiz . Masalan , va quyidagicha topiladi :




Jadval

						Sxema qismlari
2 -3 4 1	-3 5 -1 2	4 -1 1 3	1 2 3 2	11 -6 1 1	15 -3 8 9	A
1,41421	-2,12133 0,70708	2,82843 7,07138 7,55013	0,70711 4,94995 4,50363i 1,64904i	7,77819 30,40691 28,61122i 4,94718i	10,60661 43,13538 40,66504i 6,59622i
2,99958 3,99970	1,99975 2,99980	2,00002 3,00004	3,00004 4,00004

Jadvaldagi yechimni verguldan keyin uch xonasigacha yaxlitlab olsak , quyidagiga ega bo’lamiz :

XULOSA
Mening xulosam shundan iboratki , mazkur mavzuni o’rganish davomida men chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini kvadrat ildizlar metodi yordamida yechishni o’rgandim . Bundan tashqari
1 . Ermit, qo’shma, simmetrik matritsalar to’g’risida tushunchalarga,
2. Unitar matritsaning xossalari haqida,
3. Kvadrat ildizlar metodining g’oyasini,
4. Berilgan simmetrik matritsaga ega bo’lgan sistemani kvadrat ildizlar metodi yordamida yechish
to’g’risida tushunchalarga ega bo’ldim .
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda kvadrat ildizlar medoti eng qulay usullardan biri ekanligiga ishonch hosil qildim .
Adabiyot:

1. Izzatullayev N.

2. Mamatov Sh.

3. S. Xoliqulov S. Chiziqli algebra elementlari va tekislikda analitik geometriya Uslubiy qo`llanma
4. www.ziyonet.uz5.