Sodda differensial tenglamalar

ta’rif. Tarkibida noma’lum funksiyaning ma’lum tartibligicha hosilalari (yoki differensiallari) qatnashgan tenglamaga differensial tenglama deyiladi.





Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo‘lsa, tegishli differensial tenglamani oddiy differensial tenglama, ko‘p argumentli bo‘lganda xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

2. 
   ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb, uning tarkibiga kirgan noma’lum funksiya hosilasining (differensialining) eng yuqori tartibiga aytiladi.
   

Oldingi bandda ko‘rilgan 1-masala ikkinchi tartibli, 3-masala esa birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalardan iboratdir. U yerda ko‘rilgan 2-masala ham aslida ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama bo‘lib, uni yechish jarayoni ketma-ket ikkita birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechish orqali amalga oshirildi.

Bu bobda asosan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama ustida ish olib boramiz.

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha yozish mumkin:

F(x,y,y)=0. (1)

Bu yerda x erkli o‘zgaruvchi, y noma’lum funksiya, y'


— uning hosilasi,

dx ^&


F esa uch o‘zgaruvchining berilgan funksiyasi. Agar (1) tenglamani y 'ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz:

d = f (x, y), (2.)

dx

bu tenglamani

f(x,y)dx-dy=0

ko‘rinishda yozish mumkin.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

shaklda yozilgan tenglama ham birinchi tartibli differensial tenglamadir. Bu bandda (14.2.2) ko‘rinishdagi tenglamani tekshirish bilan kifoyalanamiz. Differensial tenglamaning yechimini ta’riflashdan avval ba’zi bir belgilashlarni kelishib olaylik:

J biror interval; D Oxy koordinatalar tekisligidagi nuqtalarning biror to‘plami; G uch o‘lchovli Dekart koordinatalar sistemasidagi (ya’ni fazodagi) nuqtalarning biror to‘plami bo‘lsin.

Aytaylik, F(x,y,z') funksiya G to‘plamda, f(x,y) funksiya D to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.

3. 
   ta’rif. Agar y=ty(x) funksiya J oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
   

bo‘lib, VxeJ^ (x;
eD va ^d(p(x) = f (x;y(x)) o‘rinli bo‘lsa, bu funksiya (2)

dx

differensial tenglamaningyechimi (yoki integrali) deyiladi.

y=ty(x) ning grafigi differensial tenglamaning integral egi chizig‘i deyiladi.

4. 
   ta’rif. Agar ixtiyoriy c parametrga bog ‘liq bo ‘lgan va J oraliqda aniqlangan y=q(x,c) funksiya c ning biror sohaga tegishli har bir tayinlangan qiymatida (2) differensial tenglamani qanoatlantirsa, uni shu differensial tenglamaning umumiy yechimi yoki umumiy integrali deyiladi.
   

Ba’zi hollarda differensial tenglamaning umumiy yechimini y/(x,y,c)=0 oshkormas ko‘rinishda ham ifodalanadi. Differensial tenglamaning umumiy yechimidagi c ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan har bir tayinlangan qiymatiga mos keluvchi yechim uning xususiy yechimi deyiladi.