Sodda differensial tenglamalar

y =2cx


ni olamiz. Berilgan tenglamadan c = -^y (x?0) ni olib uni oxirgiga qо‘ysak,

x

y ' = 2 ^y (7)

X

differensial tenglamaga ega ^‘lamiz. Olingan (7) y = cx² chiziqlar oilasining differensial tenglamasidir.

Endi quyidagi geometrik masalani qaraylik. Agar (5) differensial tenglama vositasida qandaydir chiziqlar oilasi berilgan ^‘lsa, bu oilaga tegishli har bir chiziqni berilgan a burchak ostida kesib оЧ^^ chiziqlarni (chiziqlar oilasini)





topish masalasini qaraylik. Bunday chiziqlar oilasi mavjud bo‘lsa, ulami berilgan chiziqlar oilasiga izogonal chiziqlar (traektoriyalar) deb ataladi.

Ma’lumki ikkita chiziq orasidagi burchak sifatida ularning har biriga kesishishi nuqtasida o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchak qabul qilinadi. Berilgan oilaga tegishli chiziq urinmasining burchak koeffitsienti y' ekanligini bilamiz, agar izlanayotgan chiziq tenglamasini Y=@(x) deb faraz qilsak, uning burchak koeffitsienti Y' dan iboratdir. Urinmalar orasidagi burchak a, bu urinmalarning Ox o‘qi bilan hosil qilgan burchaklarning ayirmasiga tengligidan

tga = к


У'- Y'

1 + Y '• y^r

bundan Y uchun y':


У ' - к


1 + ку

^{f (}x, у)<sup>- к


1</sup> + ^kf(X У⁾


- (14.3.5) ni e’tiborga olsak, izlanayotgan izogonal chiziqlar

differensial tenglamani olamiz. Bu yerda k=tga bo‘lib,

7

0


Agar a


7

2


bo‘lsa, chiziqlar orasidagi burchak to‘g‘ri bo‘lib, ular


ortogonal chiziqlar (traektoriyalar) deb yuritiladi va bu holda Y=- — bo‘lishini

У '

e’toborga olsak, izlanayotgan ortogonal chiziqlar (troektoriyalar) tenglamasi

Y' = — (8)

f (x, Y) ^V '

dan iborat bo‘ladi.

Masalan, (7) differensial tenglama bilan aniqlangan chiziqlar oilasiga ortogonal bo‘lgan chiziqlar (traektoriyalar)ni topaylik. Buning uchun (8) tenglamani (7) ni e’tiborga olgan holda yozamiz:

Buni yechib,


у


x

2У

x


+ У = c


2


i


ni olamiz, bu yerda c₁ ixtiyoriy musbat o‘zgarmas sondir.


_x

Demak, y=cx² parabolalar oilasiga — + у² = c ellipslar oilasi ortogonal

troektoriyalarni tashkil qilar ekan, bu yerda c e R va c e R + bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan ixtiyoriy o‘zgarmasdir (3-rasm).

Endi, (2) Koshi masalasi yechimini mavjudligi va yagonaligi masalasini qarayamiz.

1-ta’rif. Agar f(x,y) funksiya biror ikki o‘lchovli D sohada aniqlangan bo‘lib, shunday musbat L>0 son mavjud bo‘saki, ixtiyoriy (x,y₁) eD, (x,y₂) eD nuqtalar uchun ushbu I f(x,y1)-f(x,y2)\ 1-y2\ tengsizlik bajarilsa, u vaqtda



f(x,y) funksiya D sohada y argumenti bo‘yicha Lipshic shartini qanoatlantiradi deyiladi. L>0 esa Lipshic о ‘zgarmasi deb ataladi.

(2) - (3) Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

l.-teorema (Pikar teoremasi). Agar f(x,y) funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, y argumenti bo‘yicha Lipshic shartini qanoatlantirilsa, u vaqtda shunday o‘zgarmas h>0 son topiladiki, (14.3.2) tenglamaning (xo,yo) eD bo‘lganda (14.3.3) boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan va J=[x:x-x₀\ <h} yopiq oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud Ьо‘ШЬ

2 -teorema (Peano teoremasi). Agar f(x,y) funksiya D yopiq sohada aniqlangan va uzluksiz Ьо‘^, u holda D sohaning berilgan (x0,y0) nuqtasidan (1) tenglamaning kamida bitta integral chizig‘i о‘tadi.

Bu teoremalar hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamalar uchun keltirildi. Xuddi shunga о‘xshash teoremani F(x,y,y)=0 tenglama uchun ham keltirish mumkin.

3-teorema. F(x,y,z) funksiya (x, y, z)e G sohada quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1) F(x,y,z) funksiya G sohada uzluksiz,


2)

3)

SF dF

—, — xususiy hosilalar G sohada uzluksiz;

Sy Sz

SF

— xususiy hosila G sohada moduli to‘yicha chegaralangan, ya’ni

Sy


SF

Sy

< M, M > 0;


4) sf , о

Sz

U vaqtda shunday h>0 son mavjud bо‘ladiki, F(x,y,y)=0 tenglamaning

y|*=*₀ = Уо boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan hamda x0-h00+h oraliqda

aniqlangan yagona yechimi mavjud Ьо‘ШЬ

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning eng sodda turlari Mazkur bandda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning kvadraturalarda integrallanadigan turlarini keltiramiz.

4. 
   To‘liq differensialli tenglama
   

Berilgan

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (x,y) eD (1)

tenglamani odatda birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning differensial shakli deb yuritiladi, chunki (14.4.1)ni

dy _ P(x, y) y_oki ^dx _ Q^(x, y) dx Q(x, y) ^J dy P(x, y)

kо‘rinishda yozish mumkin. Bunda P(x,y) va Q(x,y) biror ikki о‘lchovli D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir.

1 -ta’rif. Agar (14.4.1) tenglamaning chap tomoni D sohada bioror U(x,y) funksiyaning to‘liq differensialidan iborat bo‘lsa, uni to‘liq differensiaUi tenglama deyiladi.

Agar D sohada differensiallanuvchi U(x,y) ikki o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differensiali aynan nolga teng bo‘lsa, uning ikkala xususiy hosilalari ham aynan nolga teng bo‘lib, bu vaqtda u D sohada o‘zgarmas bo‘lishi ma’lum. Buning teskarisi, ya’ni V(x,y) eD bo‘lganda

U(x,y)=C (2)

C-o‘zgarmas bo‘lsa, o‘zgarmasning to‘liq differensiali nolga tengligi ravshandir. Shunday qilib, dU(x,y)=0 to‘liq differensialli tenglamaga ega bo‘lsak, uning umumiy yechimini (2) ko‘rinishda yozish mumkinligini ko‘rsatdik. Endi asosiy masala (1) qanday shartda to‘liq differensialli bo‘lishini aniqlash va u to‘liq differensialli bo‘lgan taqdir U(x,y) funksiyani topish ekanligi ayondir.


1-teorema. Agar P(x,y), Q(x,y) funksiyalar va ularning —, — xususiy

dy dx

hosilalari biror ikki o‘lchovli D sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, u holda (1) tenglama to‘liq differensialli bo‘lishi uchun

dP( x, y)
dy


, V(x, y) e D
dx


(3)


ayniyatning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarlidir.

f „2^


1-misol. Ushbu


4 -


V


y_

x⁷

dx +


—dy = 0 differensial tenglama yechilsin.

x

Yechish. Bu tenglama D = {(x; y): x ф 0} sohada olingan har bir (x₀; y₀) nuqtadan o‘tuvchi yagona yechimga ega. Endi (3) munosabatni tekshirib ko‘raylik.

Berilgan tenglamani (1) bilan solishtirib,

^{P( x,} y⁾ = ^{4 -} ^2^,

x

Q( x, y) = —

x

ekanligini olamiz.

Bundan, x ф 0 degan faraz asosida

dP(x, y) _ 2y dQ(x, y) _ 2y

dy x² ’ dx x²

Demak, (3) munosabat o‘rinlidir, ya’ni isbotlangan teoremaga ko‘ra berilgan tenglama to‘liq differensiallidir. Uning umumiy integralini (6.) formula bo‘yicha topamiz. Hisoblashlarni soddalshtirish uchun x₀=l, y₀=0 ((1,0) eD) bo‘lsin

deylik, u holda

u ⁽x y⁾


If 4-f }f + \ f dn = c,


Bu munosabatda integrallash amalini bajarib, hamda c=c₁+4 belgilashni kiritib,

berilgan tenglamaning umumiy integralini topamiz:

2

4x + — = c, (x, y) e D

x

bu yerda c ixtiyoriy o‘zgarmasdir.