Sodda differensial tenglamalar

2.5.-ta’rif. Berilgan (2) differensial tenglamaning y=y(x,c) umumiy yechimidan c o‘zgarmasning hech qanday qiymatida ham hosil qilib bo‘lmaydigan yechimi mavjud bo‘lsa, uni maxsusyechim deb ataladi.

Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish jarayoni uni integrallash deb yuritiladi.

1-misol.


y


xy'


1

4


y'² Differensial tenglamani qaraylik.


Agar C ixtiyoriy o‘zgsharmas son bo‘lsa,

1 2

y = cx c

4


(3)


funksiya berilgan tenglama uchun umumuiy yechim bo‘ladi. Haqiqatdan ham (3) dan y' ni topib, berilgan tenglamaga qo‘yib,


1

cx — c 4

2


1

= cx — c 4

2


ayniyatga ega bo‘lamiz. c=2 bo‘lganda (3) umumiy yechimdan y=2x-1 bitta xusuiy yechimni hosil qilamiz.

y=x² funksiya ham berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradi, lekin bu funksiya maxsus yechimdir. Chunki bu yechimni c ning hech qanday qiymatida (3) dan hosil qilib bo‘lmaydi. l.-rasmda berilgan differensial tengnlamaning xususiy va maxsus yechimlariga mos keluvchi integral chiziqlar tasvirlangan.








1-rasm.

Kezi kelganda, maxsus yechimga mos keluvchi integral egri chiziqning har bir nuqtasi orqali shu maxsus yechim integral egri chiziqlidan boshqa uning yana birorta xususiy yechimiga mos integral egri chiziqli ham o‘tishini aytamiz. Aksariyat hollarda, agar oddiy differensial tenglamaning maxsus yechimi mavjud bo‘lsa, uning xususiy yechimiga mos chiziq biror nuqtada maxsus yechimga mos

chiziqqa urinadi. Shu sababli maxsus yechimga mos chiziqni xususiy yechimlarga mos chiziqlar oilasining o‘ramasi deyiladi.

Yuqorida keltirilgan misolda berilgan tenglamaning umumiy integral chiziqlari bo‘lgan (3) tenglama bilan aniqlangan to‘g‘ri chiziqlarning barchasi maxsus yechimga mos keluvchi y=x² parabolaga tegishli biror nuqtada urinadi (1-rasmga qarang).

(2) differensial tenglama berilgan bo‘lib, y=q>(x) uning yechimi bo‘lsin. To‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan tekislikda y=ty(x) chiziqning har bir (x,y) nuqtasiga о‘tkazilgan urinmaning burchak kоeffitsienti k uchun k=f(x,y), (x, y) eD bо‘lishi ravshan. Egri chiziqning biror nuqtasidagi yо‘nalishi deb shu nuqtadagi urinmasining burchak kоeffitsientini qabul qiliniladi. Shunday qilib, y=ty(x) yechimni topish quyidagi geometrik masalani yechish bilan ekvivalentdir.

Qandaydir D sohaning har bir nuqtasiga о‘tkazilgan yо‘nalish berilgan Ьо‘ЬЬ, shu yо‘nalishlarga mos keluvchi egri chiziqni topish talab qilinadi.

Agar f(x,y) funksiya D sohada uzluksiz Ьо‘^, u holda bu yо‘nalishlar qо‘yilgan masalaning yechimidan iborat bо‘lgan y=q>(x) chiziqdan olingan nuqtalar to‘yicha uzluksiz о‘zgarib boradi va chiziqning burchak kоeffitsienti k=f(x,ty(x)) munosabatni qanoatlantiradi.

Shunday qilib, (2) differensial tenglama D sohada yо‘nalishlar to‘plami yoki, boshqacha qilib aytganda, yo‘nalishlar maydonini aniqlanadi. Agar sohaning har bir nuqtasidagi yо‘nalishni bu nuqtadan chiquvchi kichik ^^sat^h bilan belgilasak, (2) differensial tenglamaning yо‘nalishlar maydonini tasvirlash mumkin (3-rasm). Demak, (2.) differensial tenglamani integrallash masalasi geometrik jihatdan о^т^ har bir nuqtasida yо‘nalishlar maydoni beradigan yо‘nalishga urinadigan egri chiziqni topishdan iboratdir. Oddiy differensial tenglamani integrallash masalasi, geometrik ma’noda, tekislikdagi berilgan yо‘nalishlar maydoni bо‘yicha integral egri chiziqni izlash masalasi bilan aynan bir xildir.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi chekli sondagi integrallar yoki elementar funksiyalar orqali ifodalash mumkin bо‘lsa, uni kvadraturalarda integrallanuvchi yoxud chekli ко ‘rinishda integrallanuvchi deb yuritiladi.

Agar differensial tenglamaning umumiy yechimini elementar funksiya orqali ifodalash mumkin Ьо‘^, uni elementar funksiyalarda integrallanadigan deyiladi.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning xususiyatlarini о ‘rganishdan iboratdir.

3. 
   Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasining qo‘yilishi
   

Aytaylik,

d=ях.у) (i)

ax

tenglamaning o‘ng tomoni f(x,y) funksiya biror ikki o‘lchovli D bog‘liq sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.

Bu yerda x₀ nuqtani o‘z ichiga oladigan, Ox o‘qda joylashgan biror J intervalda aniqlangan, uzluksiz differensiallanuvchi hamda ushbu a) xeI; (x;y(x)) eD; b) ф'(х)=[[х;ф(х)]; c) ы₀=ф(х₀), (x₀, u₀)eD.

shartlarni qanoatlantiruvchi у=ф(x) funksiyani topish masalasini qo‘yamiz. Bu masala qisqacha.