Sodda differensial tenglamalar

Bajardi: Aliqulova Madina

d² S

d² S


^m~dt^ = ^mg ~ Id ^{= g}


(1)


ga ega bo‘lasiz. Bu oxirgi munosabat noma’lum S=S(t) funksiyaning 2-tartibli hosilasi qatnashgan tenglamadir.

Bizga malumki — =0 - moddiy nuqta tezligidan iboratdir. Buni hisobga

dt


olsak, (1) ni


d3

dt

= g


ko‘rinishga keltirish mumkin. Oxirgi tenglamadan, o‘ng tomondagi g o‘zgarmas
bo‘lganligi sababli,

3=gt+Ci (2)

ekanligi kelib chiqadi, bu yerda Ci qandaydir o‘zgarmasdir. Demak,

dS

d^=gt+C-

bo‘lib, bundan S o‘ng tomondagi funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi ekanligi
kelib chiqadi va

l


S = - gt² + Cit+c₂


(3)


ni olamiz. Bu yerda C₁ va C₂ lar qandaydir o‘zgarmaslar bo‘lib, ular moddiy nuqtaning boshlang‘ich holatiga bog‘liqdir.

Demak, oxirgi tenglama moddiy nuqtaning izlanayotgan harakat qonunini beradi. Olingan (3) formulada hozircha noma’lum bо‘lgan ikkita о‘zgarmaslar ishtirok etmoqda, biroq nuqtaning boshlang‘ich vaziyatini va boshlang‘ich tezligini bilgan holda bu o‘zgarmaslarni aniqlash mumkin. Aytaylik, boshlang‘ich paytda (t=0 da) Mo moddiy nuqtaning tezligi 3o ga uning hisob

boshidan masofasi S₀ ga teng bo‘lsin deylik. — tezlik ni ifodalagani uchun (2)

dt

munsabatdan C₁ = &₀ ni (14.1.3) dan esa C₂=S₀ ni aniqlash mumkin. Natijada izlanayotgan moddiy nuqtaning harakat qonuni

l ,

S = - gt² +djt + S ₀

ko‘rinishni oladi.

Shunday qilib, yuqorida ko‘rilgan masalani yechish jarayonida tarkibida nama’lum funksiyaning qandaydir tartibli hosilasi qatnashgan tenglamalarga duch keldik. Bunday tenglhmalarni differensial tenglamalar deyiladi.

2. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalar
   

Tabiatda va texnikada uchraydigan ko‘plab hodisa yoki jarayonlarni tavsiflovchi noma’lum funknsiyalar va ularning hosilalarini o‘zaro bog‘lovchi munosabatlar ma’lum bo‘lganda masala bu funksiyalarni topishga keltiriladi.

1.