Сонлар назариясининг аддитив масалалари

6-МАВЗУ: МУРАККАБ МОДУЛ БЎЙИЧА n-ДАРАЖАЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАР.
Р Е Ж А:
1. Мураккаб модул бўйича таққосламани модуллар жуфт-жуфти билан ўзаро туб бўлган ҳолга келтириш.
2. р^ модули бўйича таққосламани р модули бўйича таққосламаларга келтириш.
3. Мисоллар.
Адабиётлар [ 2, 3,6].

Биз ушбу маърузада мураккаб модулли таққосламани ечишни туб модул бўйича таққосламани ечишга келтириш мумкин эканлигини кўрсатамиз.

Аввалоушбу теоремани исботлаймиз.
_{Теорема}. Агар

таққосламанинг модули М жуфт-жуфти билан ўзаро туб бўлган кўпайтувчиларга ажратилган бўлса, у ҳолда:
1). (2) таққослама ушбу таққосламалар системаси

га тенг кучлидир.
2). Агарда (1) таққослама Nта ечимга эга бўлиб, (2) нинг биринчиси n₁. иккинчиси n₂ ва ҳ.к. охиргиси n_к та ечимга эга бўлса, у ҳолда бўлади.
Исботи 1. Маълумки агар таққослама М модули бўйича ўринли бўлса унинг ихтиёрий бўлувчиси бўйича ҳам ўринли бўлади. Бундан эса (1) нинг ҳар бир ечими (2) нинг ечими бўлиши келиб чиқади.
Иккинчи томонидан эса агар берилган таққослама бир неча модул бўйича ўринли бўлса, уларнинг ЭКУКи бўйича ҳам ўринли бўлади. Бундан эса (2) нинг ҳар бир ечими (1) нинг ечими бўлади. Шундай қилиб (1) ва (2) эквивалент (ҳаттоки бўлмаса ҳам бўлиши кифоя).
2. (1) ва (2) лар эквивалент бўлганлиги сабабли (2) системанинг ечимини модул бўйича чегирмалар синфига тегишли деб қараш мумкин. Демак, (1) ва (2) лар бир хил сондаги ечимларга эга. Энди (2) нинг ечимларини санаб чиқамиз. Тушунарлики агар (2) нинг бирорта таққосламаси ечимга эга бўлмаса, у ҳолда (2) система ечимга эга бўлмайди ва демак, (1) ҳам ечимга эга эмас.
Фараз этайлик b₁(2) даги биринчи таққосламанинг бирорта ечими, b₂ иккинчисининг ва ҳ.к. b_к охирги таққосламанинг бирорта ечими бўлсин. У ҳолда таққосламалар системаси:

ягона ечим

га эга, бу ечим (2) нинг ва демак (1) нинг ҳам ечимидир. Фаразимизга кўра (2) даги биринчи таққосламаn₁ та, иккинчи n₂ та, ва ҳ.к. охиргиси n_кта ечимга эга, у ҳолда биз
та (3) кўринишдаги системага эга бўламиз ва унинг ҳар бири ягона ечимга эга бўлгани учун та ечимга эга бўламиз.
Бу ечимларнинг М модули бўйича турли синфларга тегишли эканлигини кўрсатамиз.
Фараз этайлик га алмаштириб ҳосил қилинган бўлсин. У ҳолда дан (4) нинг ўнг томонидаги биринчи қўшилувчи билан фарқ қилади. Агарда
Бу ерда _.
Бундай бўлиши мумкин эмас,чунки b₁ ва лар (2) даги биринчи таққосламанинг ҳар хил ечимлари. Шундай қилиб, .
Мисол.
(1^’) ни ушбу система билан алмаштириш мумкин:

1-таққосламанинг ечими _, 2-таққосламанинг ечимлари эса
(3^’) системани ечамиз:

Бу ерда деб олиш керак. Шундай қилиб (1^’) таққосламанинг ечимлари
Демак берилган система
га эквивалент. Бундан

2. Юқоридаги теоремага асосан мураккаб модул бўйича таққосламани ҳамма вақт

кўринишдаги таққосламани ечишга келтириш мумкин. Бу таққосламани танлаш усули билан ечиш р^ катта сон бўлганда анча ноқулай (1) ни ечишни

ни ечишга келтириш мумкин. Маълумки (1) ни каноатлантирувчи ҳар бир х₁ сони (2) ни ҳам қаноатлантиради. шунинг учун ҳам (1) нинг ечимларини (2) нинг ечимлари орасидан қидириш керак. Буни кетма-кет (2) данр бўйича, кейин р²ва ҳ.к. таққосламаларга ўтиб бажариш мумкин.
Фараз этайлик (2) бирорта ечими топилган бўлсин:


таққосламани қаноатлантирувчиларини ажратиб оламиз. _.
Бу таққосламанинг чоп томонини ҳисоблаш учун ни унинг Тейлор қатор ёйилмасидан фойдаланиш қулай:

бу ердаги ҳар бир қўшилувчи бутун сон.
Бундан фойдаланиб охирги таққосламани қуйидагича ёзиш мумкин:

Бу ерда бўлган учун

ёки

Бу ерда қуйидаги учта ҳол бўлиши мумкин:

1. 
   
   

Буни (3) га кўйсак, ҳосил бўлади.
Бундан (4) нинг бирта ечими ҳосил бўлади. Демак
Буни

таққосламага олиб бориб қўйиб, юкоридаги сингари мулоҳаза юритиб t₂ ни топамиз.

бўлгани учун

бўлгани учун

Демак, (8) ягона ечимга эга. У ҳолда
ёки _.
Шу жараённи такрорлаб ни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб ҳолда (2) нинг ҳар бир ечими (1) нинг бирта ечимига олиб келади.
Б. Агарда бўлиб, (6) нинг ўнг томони эса р га бўлинмаса (6) ва демак (4) ва (1) ҳам ечимга эга эмас.
В. Агарда бўлиб, (6) нинг ўнг томони ҳам р га бўлинса, (6)айний таққосламага айланади, уни (3) даги ихтиёрий бутун сонt₁қаноатлантиради. Лекин бу ечимлар р² модули бўйича рта синфга тегишли бўлади, яъни (4) таққослама р та ечимга эга бўлади. Кейин бу ечимлардан умумий усул билан р³ модули бўйича таққосламани қаноатлантирувчиларини ажратиб оламиз ва ҳ.к.
Мисол. таққосламани ечинг. .
таққослама бирта ечимга эга. Бу ерда Демак А ҳолга тўғри келади.
берилган таққосламанинг ечими.