Сонлар назариясининг аддитив масалалари

5-теорема. Агар g(t) t  да аниқланган ҳақиқий ўзгарувчили монотон камаювчи функция бўлиб, t  1 да gt> бўлса, у ҳолда
бу ерда n –бутун мусбат сон, х  1 ва А – фақат g га боғлиқ бўлган ўзгармас.
Исботи. Ушбу n, n+1ёпиқ интервални қараймиз.
g –камаювчи функция бўлгани учун ҳам . Шунинг учун ҳам

Энди фараз этайлик М ва N лар  мусбат бутун сон ҳамда M

Шартга кўра t  1 да g t> (яъни g(N+1)>0).

Демак барча N>M лар учун

Хусусий ҳолда (M=1, N=) да яъни - қатор яқинлашувчи, шунинг бу қаторнинг йиғиндисини А деб белгиласак бўлади.У ҳолда (5) га асосан
ва
ёки () га асосан

Бу ердан

Агарда деб олсак

бу ерда n фақат бутун қийматлар қабул қилади.
g-функция мусбат ва камаювчи бўлгани учун

Шундай қилиб,

1-натижа. Ушбу тенглик ўринли

бу ердаги  - га Эйлер доимий дейилади ва ,…
2-натижа.
бу ерда В-ўзгармас сон.
Исботи: деб олмас 6-теоремага кўра

6-теорема. .
Исботи. Юқорида таъкидлаб ўтилганидек D(N) бу 1-квадрантдаги ху=N гиперболадан пастда жойлашган (лекин координата ўқларидан бошқа жойдаги) бутун координатали нуқталар сонига тенг эди. Тушунарлики бу нуқталар x=N туғри чизиқда чапда, у=N тури чизиқдан эса пастда жойлашгандир.
Кўрсатилган соҳадаги ҳар бир вертикал чизиқдаги бутун координатали нуқталар сонини аниқлаймиз. x=х_отўғри чизиқда ординатаси дан ошмайдиган бутун нуқталар сони га тенг, - а нинг бутун қисми. Шунинг учун ҳам (бу ерда ) деб олсак

6-теоремани анча кучайтириш мумкин. 1-қадам сифатида биз eшбу теоремани исботлаймиз.
7-теорема. (Дирихле)
бу ерда - Эйлер доимийси.
Исботи. Маълумки гипербола тўғри чизиқга нисбатан симметрик. Шунинг учун ҳам ABGEO ва CDOFG соҳалар бир хил сондаги бутун нуқталарга эга. Шунинг учун ҳам

Бу ерда
деб олишимиз мумкин. У ҳолда
Теорема исбот бўлди.
8-теоремадаги қолдиқҳад 0( ) Г.Вороной томонидан яхшиланган ва га етказилган.Бу қолдиқ га тенг деган гипотеза мавжуд. Иккинчи томондан эса бу қолдиқни дан яхшилаш мумкин эмаслиги ҳам кўрсатилган.