Сонлар назариясининг аддитив масалалари

10-МАВЗУ: ИНДЕКС ТУШУНЧАСИ ВА УНИНГ АСОСИЙ ХОССАЛАРИ.
Режа:
1.Индекс тушунаси ва унга мисоллар.
2. Индексларниг хоссалари.
3. Индекслар ва анти индекслар жадвали.
4. Индексларнинг таққосламаларни ечишга тадбиқлари.
1.Бошланғич илдизларнинг асосий хоссалари сонлар назариясига логарифм тушунчасига ўхшаш янги тушунча индекслар тушунчасини киритиш имкониятини беради. Фараз этайлик g сони р туб модули бўйича бошлағич илдиз бўлсин. У ҳолда

сонлари р модули бўйича чегирмаларнинг тўла системасини ташкил этади. Агар а, (а,р)=1 бўлса, уmodp бўйича (1) системадаги бирорта сон билан таққосланувчи бўлиши керак, яъни

Агар (а,р)=1 бўлса,
(3)
(3) шартни қаноатлантирувчи  сонига а сонинингр модули бўйича g асосга кўра индекси дейилади ва ind_ga кўринишда ёзилади. Демак (3) дан

Таърифдана билан modpбўйича таққосланувчи барча сонлар (4) да барта индексга эга.
0, 1, 2, … , р-2 (5)
Умуман ҳар бира сони (5) системада бирта индексга эга.
Лекин бир асосдан иккинчи асосга ўтилса индекслар умуман айтганда ўзгаради. Масалан: 3 сон mod 7 бўйича бошланғич илдиз эди. Энди 3 асосга кўра 1, 2, 3, 4, 5, 6 сонларининг индексларини аниқлайлик.

Демак индекслар мос равишда 0,2,1,4,6,3.
5 ҳам 7 модули бўйича бошланғич илдиз. Энди 5 асосга кўра 1,2,3,4,5,6 сонларнинг индексларини аниқлайлик.

Демак индекслар мос равишда 0,4,5,2,1,3.
2. Иккинчи томондан эса берилган g асосга кўра а сони чексиз кўп индекслар  га эга. (1) ва (2) дан булар манфий бўлмаган бутун сонлар бўлиб

шартни қаноатлантириши керак. Бу ерда g сони рмодул бўйича бошланғич илдиз бўлганлиги сабабли, у р-1 кўрсаткичга тегишли. У ҳолда кўрсаткичга қарашли сонларнинг хоссаларига асосан юқоридаги таққослама ўринли бўлиши учун бўлиши керак. Демак рмодули бўйича р билан ўзаро туб ҳар бир чегирмалар синфига р-1 бўйича чегирмалар синфидаги манфий бўлмаган тўплами мос келади ва аксинча:
бўлса (4) га асосан

Шунингдек индекслар қуйидаги хоссаларга эга:
1) Кўпайтма а,b, …, е нинг индекси р-1 модули бўйича шу сонлар индекслари йиғиндиси билан таққосланувчидир, яъни
₍₆₎
Исботи. Ҳакиқатан ҳам,
бўлгани учун . Бундан (3) ва (5) га кўра
.
2) _.
Бу хосса 1) дан деб олсак келиб чиқади.
Шунингдек
3. Индекслар жадвали. Индекслар жадвалини тузиш р туб модул бўйича сонга кўра унинг индекс ива аксинча берилган индексга кўра шу сони топиш имкониятини беради.
Бунда асос сифатида р модул бўйича бошланғич илдизлардан бирортаси олинади.
Биринчи бўлиб индекслар жадвали учун 1837 йилда рус математиги М.В.Остроградский томонидан тузилган. Немис математики К.Якоби буни гача олиб борган. Ҳозирги вақтда етарлича катта туб сонлар учун бу жадваллар тузилган. Бу жадваллар тегишли китобларга илова сифатида эълон қилинган.
М.: mod 17 бўйича индекслар ва анти индекслар жадвалини тузайлик. Бунинг учун шу модул бўйича бирорта бошланғич илдизни топиш керак.
нинг бўлувчилар 1,2,4,8,16 дан иборат.
демак 2 сони бу модул бўйича бошланғич илдиз эмас.
Демак, gқ3 ни олиш мумкин.

p=17

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		0	14	1	12	5	15	11	10	2
1	3	7	13	4	9	6	8

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	3	9	10	13	5	15	11	16	14
1	8	7	4	12	2	6

Жадвал қайси асосга кўра тузилганини ундан дан (яъни indg=1 даги) фойдаланиб топиш мумкин.
Умуман индекслар жадвалини туб бўлмаган бошланғич илдизлар мавжуд бўлган m модул бўйича тузиш ҳам мумкин.
4. Индексларнинг таққосламаларни ечишга тадбиқлари.
а) Икки ҳадли таққосламаларни ечиш.
Икки ҳадли бир номаълумли тнгламанинг умумий кўриниши

Маълумки мураккаб m модул бўйича таққосламани туб модул бўйича таққосламани ечишга келтириш мумкин. Шунинг учун ҳам бўлган ҳолни

қараймиз. р>2 деб оламиз. p=2 бўлса, 0 ва 1 чегирмаларни синаб қўйиш йўли билан ечиш мумкин. (8) дан inda+nindx=indb(modp-1) ёки бундан
nindx=indb- inda (modp-1). (9)
Демак1) (n, p-1)=1 бўлса, у ҳолда (9) ва демак (8) ҳам ягона ечимга эга;
2) (n, p-1)= d>1 бўлиб, d|ind b-ind a бўлса, (9) ва демак (8) ҳам d та ечимга эга.
3) (n,p-1)=d>1 бўлиб, d|ind b-ind a бўлса, (9) ва демак (8) ҳам ечимга эга эмас.
_{Мисоллар}. 1) Таққосламани ечинг:




б). (*)
таққосламанинг ечимга эга бўлиш шарти.
Бу таққосламани индексласак

Бу ерда бўлса, нинг ечимга эга бўлиши учун

шартнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.

ёки

(9) ни аввало indx га нисбатан ечамиз.
Маълумки агар, (^’) нинг иккала томонини га кўпайтирамиз,у ҳолда ёки _.
Бундан эса

Шундай қилиб ()нинг ечимга эга бўлиши учун (^''') шартнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
n=2 бўлса, (^''') дан бизга маълум бўлган таққосламанинг ечимга эга бўлиши шарти _, Эйлер критерияси келиб чиқади.
в) Кўрсаткичли таққосламаларни ечиш.

(₁) дан _.
Бу таққосламани эса осонгина ечиш мумкин.
Мисоллар. 1) ни ечинг.
ва 7сони 10 га бўлинмайди. Демак таққослама ечимга эга эмас.

3) 6 сонир=23 модулбўйичатегишлибўлганкўрсаткчитопилсин.

Бу ерда энг кичик мусбат ечимини оламиз.