Сонлар назариясининг аддитив масалалари

МАВЗУ: АРИФМЕТИК ФУНКЦИЯЛАР ВА БУТУН КООРДИНАТАЛИ НУҚТАЛАР.
r(n) – функцияси ва унинг хоссалари.


РЕЖА:
1. Умумий мулоҳазалар. Таърифлар.
2. r(n) – функцияси ва унинг хоссалари.
3. r(n) нинг ўрта қийматини ифодаловчи R(N) функцияси ва унинг ўсиши.
4. R(N) нинг асимптотик формуласи ва унинг қолдиқҳади ҳақидаги Гаусс
муаммоси.
Адабиётлар [1, 2, 3].


1. Умумий мулоҳазалар. Арифметик функция деганда биз мусбат бутун сонларда аниқланган комплекс қийматли функцияни тушунамиз. Биз асосан бутун қийматли арифметик функцияларни қараймиз.
қуйидаги шартларни қаноатлантирувчи f арифметик функцияга мультипликатив функция дейилади:
1). f айнан нолга тенг эмас;
.
1) шартни f(1)қ1 деб ёзишимиз мумкин.
Кўпчилик арифметик функциялар норегуляр ўзгаради, шунинг учун ҳам уларнинг ўзини ўрганишдан кўра «йиғинди функциясини» (сумматор функцияси), яъни

ни ўрганиш қулайроқ. Биз қарайдиган арифметик функциялардан баъзилари жуда ҳам сода геметрик интерпретацияга эга. Уларнинг ёрдамида баъзи соҳалардаги бутун (координатали) нуқталар сонини аниқлаш мумкин.


2. r(n)- функцияси.r(n)-арифметик функцияси бутун сонини неча хил усулда иккита бутун соннинг квадрати йиғиндиси кўринишида ифодалашлар сонини яъни mенгламанинг бутун сонлардаги ечимлари сонини билдиради. Бунда бир-биридан ишораси ёки тартиби билан фарққилувчи ечимлар турли ечимлар деб ҳисобланади.
Мисол. .
Бу мисолдан кўринадики r(n)-мультипликатив эмас. Шунингдек биз бундан илгари р=4к+3 кўринишдаги туб сонларни 2 та бутун соннинг квадратлари йиғиндиси кўринишида ифодалаш мумкин эмаслигини кўрган эдик. Шунинг учун ҳам, бу ҳолда r(n)=0. Демак, r(n)-чексиз кўп марта нолга айланар экан ва r(n) бўлгани учун

Умуман олганда r(n) нинг ўсиш тартибини баҳолаб
(бу ерда ) эканлигини, яъни , (бу ерда k сони n га боғлиқ бўлмаган мусбат доимий (ўзгармас) сон) ни кўрсатиш мумкин. Лекин биз бу ерда r(n) йиғинди функцияси ўрганиш билан чегараланамиз.
Геометрик нуқтаи назардан R(N) бу айлана ва унинг ичидаги бутун координатали нуқталар сонини билдиради. Тушунарлики R(N) тахминан шу доиранинг юзага тенг. Энди ушбу Гаусс теоремасини исботлаймиз.
1-теорема (Гаусс).
Исботи. Текисликдаги бутун координатали нуқталар юзаси бирлик бўлган квадратларнинг учини билдиради да ётувчи ҳар бир бутун нуқтага бирта на шундай квадратни мос қўйишимиз мумкин. (Бунда М.: қаралаётган нуқтага квадратнинг жанубий-ғарбий учини мос қўямиз). У ҳолдаR(N) ўша квадратлар юзаларининг йиғиндисига тенг бўлади.
Бу квадратлардан баъзи бирлари доирада тўла ётмайди, иккинчи томондан эса доиранинг баъзи қисмлари квадратлар билан қопланмаган.Лекинда ҳар бир квадратнинг диогонали га тенг бўлгани учун, бу квадратларнинг ҳаммаси доирада ётади (ичида), шунинг учун ҳам .Иккинчи томонидан қаралаётган квадратлар доирани тўла қоплайди, яъни Шундай қилиб, .
Демак,