Сонлар назариясининг аддитив масалалари

МАВЗУ: ва ФУНКЦИЯЛАРИ ВА УЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ.
РЕЖА:
1. функцияси таърифи, мисоллар.
2. Мукаммал сонлар ва Мерсени туб сонлари.
3. Мёбиус функцияси ва унинг хоссалари.
4. Мёбиуснинг йиғиш формулалари.
5. Эйлер функцияси ва унинг хоссалари.
6. Эйлер функциясининг ўсишиҳақида
Адабиётлар
функцияси. функцияси берилган n- натурал сонининг бўлувчилари йиғиндисини билдиради. Умумий ҳолда биз уни қуйидагича аниқлашимиз мумкин.

Хусусий ҳолда
1-теорема. - мультипликатив функциядир.

Шунга ўхшаш
. Теорема исбот бўлди.
2-теорема. Агар сонининг каноник ёйилмаси бўлса, у ҳолда
(6)
Исботи. мусбат бўлгани учун

.
Хусусий ҳолда да функция билан қадимий мукаммал сонлар муаммоси (проблемаси) боғлиқ. Агарда яъни сонининг дан кичик бўлувчилари йиғиндиси га тенг бўлса га мукаммал сон дейилади. М: яъни 6 ва 28 сонлари мукаммал сонлардир.
кўринишдаги бутун сонларга Мерсен (XVII-аср француз математиги) бутун сонлари, шундай кўринишдаги туб сонларга эса Мерсен туб сонлари дейилади.
Мерсен туб сонлари билан мукаммал сонлар орасидаги боғланиш ушбу теорема ёрдамида ўрганилади..
3-Теорема: Агар туб сон бўлса, мукаммал сондир.
Исботи. туб сон бўлсин, у ҳолда ва

яъни - мукаммал сон.
3-теоремага тескари теорема ҳам баъзи ҳоллар учун ўринли бўлганлигини А.Эйлер исботлади.
-теорема (Эйлер). Ҳар бир жуфт мукаммал сон кўринишига эга, бу ерда , -Мерсен туб сони,
Исботи. ( -тоқ сон) – мукаммал сон бўлсин, у ҳолда
.
Иккинчи томондан мультипликатив функция бўлгани учун

Демак,
Бунда Агарда деб олсак, у ҳолда

бу ерда . Лекинда
Шундай қилиб ва лар ни бўлади ва уларнинг йиғинди га тенг. Демак бошқа (яъни ва дан) бўлувчиларга эга бўла олмайди ва туб сон, лекин бўлгани учун ва т.и.б.
Ҳозиргача жуфт мукаммал сонларнинг чексиз кўпми йўқ эканлиги (яъни кўринишидаги туб сонлар чексизми, йўқлиги) исботланмаган. Тоқ мукаммал сонлар мавжудми, йўқми? – деган савол ҳам очиқ турибди.
Осонлик билан кўриш мумкинки, агар -мусбат бутун сон бўлиб - туб сон бўлса, у ҳолда ва -туб сон бўлиши керак. Ҳақиқатдан ҳам, агар бўлса, у ҳолда Агарда ва бўлса, яъни