Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Эйлер функцияси .
Бизга маълумки

ва да . Иккинчи томондан эса, агар ( -туб сон) бўлиб, бўлса, у ҳолда

тенгсизлик ўринли. Булардан келиб чиқадики
(1)
нинг ўсиш тартиби ҳақида ушбу теорема ўринли.
1-теорема. Ҳар бир учун да

Исбот. Агар бўлса, натижа ўз-ўзидан аниқ. бўлсин ва

У ҳолда ва лар мультипликатив функция бўлгани учун мультипликативдир. Шунинг учун ҳам 6-теоремани исботлашда фойдаланиладиган леммага асоан эканлигини кўрсатиш етарли.

.
Шунинг учун ҳам

(1) ва 1-теоремадан, агар бўлса, деган ёзув нотўғри эканлиги келиб чиқади.

ўсишини ўртача баҳолаш.
Энди ушбу йиғинди функцияни ўсишини баҳолаймиз.
.
Шуни ҳам таъкидлаш керакки нинг қиймати - тартибли Фарей кетма-кетлигидаги ҳадлар сонига тенг.
2 -теорема. (Мертенс) Ушбу тенглик ўринли:

Исботи. Ҳақиқатан ҳам,

Демак, бу тўғри бурчакли тўртбурчакдаги координаталари ўзаро туб бутун нуқталар сонига тенг экан.
Ушбу квадратни қараймиз тўғри чизиқ бу квадратни тенг 2 та тўғри бурчакка бўлади. Бу бурчакларнинг иккаласи ҳам бир хил сондаги координаталари ўзаро туб бўлган бутун нуқталарни сақлайди. Бу лардан бири берилган дан иборатдир.
Шуни ҳам таъкидлаш керакки тўғри чизиқда фақат 1 та координаталари ўзаро туб бўлган бутун нуқталар мавжуд.
Шу квадратдаги координаталари ўзаро туб бутун нуқталар сонини билан белгиласак, у ҳолда
(2)
бўлади. Бу квадратдаги бутун нуқталарнинг умумий сони га тенг, яъни
(3)
Тушунарлики Шунинг учун ҳам координаталари бўлган бутун нуқталар билан бутун сонлар жуфтлари орасида ўзаро бир қийматли мослик мавжуд. Бундан фойдаланиб (3) ни
(4)

кўринишда ёза оламиз. (4) га Мёбиуснинг иккинчи тескариланиш формуласини қўллаймиз. У ҳолда да

.
бу ерда У ҳолда бўлгани учун


(5)
Энди (5) нинг ўнг томонида қолган йиғиндини баҳолаймиз.



Бу ерда

Бизга маълумки ва

қаторларнинг иккаласи ҳам абсолют яқинлашувчи, уларни кўпайтирсак

(бу ерда )
Лекинда ва ўтган мавзудаги 5-теоремага кўра да. Демак

Буларни (5) га қўйсак


га эга бўламиз. (2) дан
(7)
т.и.б.
ва лар орасидаги муносабат.
функциянинг ўсишини баҳолаб учун ва аксинча ни бавҳолаб учун маълум бир баҳолар келтириб чиқариш мумкин.
Бу ушбу теоремадан келиб чиқади.
3-теорема. Шундай бир мусбат константа мавжудки барча лар учун ушбу
(16)
муносабат ўринли бўлади. ( деб олиш мумкин)