Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Мёбиус функцияси.
қуйидаги шартларни
1)
2) агар бўлса,
3) қолган ҳолларда (яъни агар сони бирор бирдан фарқли бутун соннинг квадратига бўлинса, ) қаноатлантирувчи функциясига Мёбиус функцияси дейилади.
Таърифдан ушбу теорема бевосита келиб чиқади.
4-теорема. -Мёбиус функцияси мультипликативдир.
5-теорема. Қуйидаги муносабат ўринли

Исботи.Ф.э. -сонинингканоникёйилмасибўлсин. Уҳолда

_.
Умуман олганда Мёбиус функциясини 5-теорема ёрдамида аниқлаб 1), 2), 3) шартларни ундан келтириб чиқариш мумкин.
Бу функциянинг тадбиқлари қуйидаги Мёбиуснинг «тескарилаш» (қайталаш) формулалари билан боғлиқдир.
6-теорема. (Мёбиуснинг биринчи тескарилаш формуласи). Агар - арифметик функция бўлиб бўлса у ҳолда
бўлади.
Исботи. Ҳақиқатан ҳам

(чунки ) т.и.б.
6-теоремага тескари теорема ҳам ўринли.
7-теорема. Агар
бўлса, у ҳолда
бўлади.
Исботи.

т.и.б.
6-теореманинг тадбиқи сифатида ушбу тенгликни қараймиз:

Бу тенглик (2 курсда) илгари исботланган эди.
бўлса,

5-теоремага кўра
. (8)
Бу теореманинг яна бир тадбиқи Мангольдт функция билан боғлиқ. Биз Мангольдт функциясини қуйидагича аниқлаймиз:

Исботи.'>8-теорема.
Исботи. Фараз этайлик бўлсин. У ҳолда -нинг таърифига кўра


6 ва 8-теоремадан

тенгликка эга бўламиз. Буни бошқароқ кўринишда ҳам ёзишимиз мумкин.
(9)
чунки да бўлганда
9-теорема. (Мёбиуснинг иккинчи тескариланиш (қайталаш) формуласи).
Агар арифметик функция да аниқланган бўлиб

бўлса, у ҳолда бўлганда

бўлади ва аксинча ( ҳақиқий, бутун).
Исботи. функция аниқланишига кўра да

.
Шундай қилиб теореманинг биринчи қисмини исботлаб бўлдик.
Энди иккинчи қисмини, яъни тескари теоремасини исботлаймиз. Бунинг учун деб оламиз. У ҳолда

т.и.б.