Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Бертран постулоти.
Ушбу теорема Бертран томонидан айтилган бўлиб, уни биринчи бўлиб Чебишев исботлаган.
4-теорема (Бертран постулоти). Агар n бутун мусбат сон бўлса, у ҳолда шартни қаноатлантирувчи туб сон мавжуд.
Бу теореманинг Чебишев исботи 3-теорема исботига ўхшаш бўлиб, п нинг катта қийматлари учун теорема умумий ҳолда исботланиб қолган қийматлари учун туб сонлар жадвали ёрдамида текшириб кўрилади. Бу ерда С.С.Пиллаи исботини келтирамиз, у нисбатан содда ва текширишлар сони кам, чунки ерда Г(п) учун Стирлинг формуласида фойдаланилмайди.
Чебишев теоремасини исботлашда биз учун

тенгсизликдан фойдаланиб тенгсизликни келтириб чиқарган Эдик. (11)-тенгсизликнинг фақат 2 ни нг даражалари учун бажарилиб қолмасдан барча п-бутун мусбат сонлар учун баарилишини яъни

ни кўрсатиш учун (19) га қараганда аниқроқ бўлган

тенгсизлик керак бўлади.
Аввало (20) ни исботлайлик.
бўлсин.
бўлгани учун

Энди Ушбу тенгсизликни қарайлик:

Буни қуйидагича ёзиб оламиз.

ёки

Энди (20) нинг чап томонини исботлаймиз учун Ушбу тенгсизликни қараймиз:

Буни

деб ёза оламиз. Демак

(20) муносабат тўла исбот бўлди.
Энди (19) ни исботлаймиз. (19)ни nқ1 ва nқ2 да бевосита текшириб кўриш мумкин. Биз (19)ни бирор қиймати учун ўринли деб қараб ундан
ни келтириб чиқарамиз.
Ушбу бутун сони қараймиз:

Бу сон шартни қаноатлантирувчи барча р-туб сонларга бўлинади ва шунинг учун ҳам уларнинг кўпайтмасига ҳам бўлинади. Демак

Лекинда (20)дан Кейинги 2 та тенгсизликдан

Индуктивлик фаразамизга кўра
Шунинг учун ҳам

теорема исбот бўлди.
4-теореманинг исботи. Теоремани исботлаш учу эканлигини кўрсатамиз, нинг қолган қийматлари учун эса бу тенгизликни бевосита текшириб кўрамиз.
Яна ҳам сонини қараймиз. Бу ерда

Тушунарлики

(21) даги йиғиндини қуйидагича 4 та йиғиндига ажратамиз.


Шунинг учун ҳам
У ҳолда


Шунинг учун


демак



бўлгани учун


бўлганда (21)-(25) тенгсизликлардан
Энди етарлича катта лар учун эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун Ушбу 3 та тенгсизликдан фойдаланамиз.

а) ва в) (19) ва (20) дан келиб чиқади с) эса 2 дан катта барча жуфт сонларнинг мураккаб сон эканлигидан келиб чиқади.
Агарда бўлса, а), в) с) ва (26) дан

Энди теоремани исботлаш учун

ни кўрсатамиз, Бу тенгсизлик nқ2⁶ да бажарилади.

(28) n>2⁶ да бажарилишини кўрсатамиз. Бунинг учун уни қуйидагича ёзиб оламиз.



Ҳақиқатан (29) дан

Агарда бу ерда

функцияларнинг мусбат ҳосилага эга.Демак қаралаётган соҳада бу функциялар ўсувчи. x=2⁶да уларнинг йиғиндиси мусбат бўлгани учун x≥2⁶
да ҳам мусбат бўлади. Шундай қилиб агар n≥2⁶ бўлса
- >0 (30)
бўлади, яъни n≥2⁶да Бертран постулоти ўринли.
2,3,5,7,13,23,43,67 кетма-кетликдаги туб сонлардан ҳар бири (биринчисидан ташқари) ўзидан олдингисининг икки бараваридан кичик. Шунинг учун ҳам n≤66 шартни қаноатлантирувчи ҳар бир бутун сонига ҳеч бўлмаса бирта n
шартни қаноатлантирувчи туб сон мос келади. Шундай қилиб 4-теорема тўла исботланди.