Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Исботи. бўлсин. У ҳолда

Демак

Иккинчи томондан


Теорема тўла исбот бўлди.


Мавзу. Туб сонларнинг тақсимотиҳақида.
1. Чебишев функциялари. Бизга маълумки (натурал қатордаги ) туб сонлар сони чексиз кўп эди. Шунинг учун ҳам агар биз орқали х дан катта бўлмаган туб сонлар сонини белгиласак, яъни



деб белгиласак, у ҳолда эканлиги келиб чиқади.
Биз бу ерда қаторнинг узоқлашувчи эканлигини кўрсатамиз. Бундан эса туб сонлар сонининг чексизлигининг яна бир исботи келиб чиқади.
1-теорема (Эйлер). Агар р туб сонлар тўпламдаги барча қийматларни қабул қилса у ҳолда йиғинди ва нинг узоқлашувчи эканлигини кўрсатамиз. Фараз этайлик
.
бўлсин. Агар u, 00-бутун сон бўлса, у ҳолда

Бу ерда деб олсак



m ни шартни қаноатлантирувчи қилиб танлаб оламиз. У ҳолда

бажарилади. Ҳақиқатан ҳам, ҳар бир бутун сон n, nx, фақат px ни қаноатлантирувчи туб кўпайтувчиларга эга бўлади.
шарт охирги тенгсизликнинг чап томонини очиб чиққанда ўнг томонидаги барча ҳадларнинг пайдо бўлишини таъминлайди.
Шундай қилиб,

Бу ердан , яъни - узоқлашувчи.
Энди нинг узоқлашувчи эканлигини кўрсатиш учун Ушбу ёйилмани

Охирги тенгсизликда деб олсак:

Шундай қилиб,

қатор узоқлашувчи. Теорема исбот бўлди.

2. функциялари: Чебишевнинг функциялари қуйидаги тенгликлар ёрдамида аниқланади.

(2) йиғинди барча шартни қаноатлантирувчи p, m лар бўйича олинади.
Биз илгари Мангольдт функциясини

тенглик ёрдамида киритган эдик. Таърифдан

келиб чиқади.
(1) ва (2) дан

Тушунарлики агар бўлса, бўлади ва аксинча. У ҳолда (2) дан


(4)
(4) қатор албатта чекли бўлади, чунки агар x<2 бўлса бўлса (3) формуладаги lnpm-марта олинади. Бу ҳолда бўлгани учун (2) ни

кўринишда ёза оламиз.
Энди функциялар орасидаги боғланишларни топамиз.
бўлса, у ҳолда
бўлади.
Исботи. (4) дан
(5) дан эса

Агар бу тенгсизликни х га бўлиб х лимитга ўтса,

га эга бўламиз.
, << - ҳақиқий сонини танлаб оламиз ва х>1 бўлсин. У ҳолда

ҳамда бўлгани учун

Бу ерда

бу ерда  ихтиёрий ҳақиқий сон <<. Демак биз деб олишимиз мумкин. У ҳолда келиб чиқади.
ҳам худи шу йўл билан исботланади.
Демак, 2-теоремадан агар қаралаётган
ифодаларнинг бирортаси лимитга эга бўлса қолганлари ҳам лимитга эга бу лимитлар тенг бўлар экан.
Шунинг учун ҳам туб сонлар тақсимотининг асимп. қонунини исботлаш учун ни исботлаш етарли
3. Чебишев теоремаси. Энди юқорида исботланган 2-теоремадан фойдаланиб ушбу теоремани исботлаймиз.