Сонлар назариясининг аддитив масалалари

3-теорема (Чебишев) Агар х етарлича катта сон бўлса, шундай бир а ва А, доимий сонлари мавжудки,

муносабат ўринли бўлади.
Исбот. Фараз этайлик бўлсин.
Агар биз эканлигини кўрсатсак теорема исбот бўлди. 2-теоремага кўра бу тенгсизликлар қуйидагиларга эквивалентдир:

Аввало (7) ни исботлаймиз. Ушбу биномиал коэффиценти

қуйидаги хоссаларга эга:
1) N бутун ва (1+1)^2п нинг ёйилмасидаги энг катта ҳад. Бу ёйилмада (2п+1) та ҳад бўлгани учун

шартни қаноатлантирувчи барча туб р сонларига бўлинади, чунки бу сонлар N нинг суратига киради, лекин махражига кирмайди.
2) – хоссадан
ва демак
(9) дан Буни эътиборга олсак,

Агар биз (10) да деб олиб ҳосил бўлган тенгсизликларни ҳадлаб қўшсак

Бу ердан бўлгани учун

га эга бўламиз.
Фараз этайлик x>1 ушбу шартни қаноатлантирсин. У ҳолда ўсувчи (камаймайдиган ) бўлгани учун

Бундан

(7) исбот бўлди.
Энди (8) тенгсизликни исботлаймиз. Бунинг учун бизга маълум бўлган Ушбу леммадан фойдаланамиз.
Лемма.р-туб сони m! га

даража билан киради.
Энди ушбу N сони

ни қараймиз. туб сони N нинг суратига

даража билан, махражига эса

даража билан киради. Шунинг учун ҳам N га

даража билан киради ва демак,

деб ёза оламиз. Агарда бўлса,

бўлгани учун деб белгилаб олсак

Маълумки, агар уҳақиқий сон бўлса, бўлади. Бу ердан
_.Бундан эса

_. Иккинчидан .
Бундан (12)да фойдалансак га эга бўламиз.
Шундай қилиб

Иккинчи томондан эса

ёки

(13) ва (14) дан

(9) дан
(15) ва (16) дан
Энди фараз этайлик x>2 ҳақиқий сон бўлиб
бўлсин. У ҳолда бўлиб (17) дан

ёки х га бўлсак

га эга бўламиз. Демак

теорема исбот бўлди.
3-теоремадан туб сонлар сонининг чексизлиги ва қаторнинг узоқлашувчи эканлиги тўғридан тўғри келиб чиқади.
Ҳақиқатан ҳам, р_п-п-чи туб сон бўлсин.
У ҳолда га кўра етарлича катта
бўлганидан
(n-етарлича катта) ().
Бундан
У ҳолда () да

муносабат бажарилдан. Бу ердан

Ўнг томондаги қатор узоқлашувчи бўлгани учун чап томондаги қатор ҳам узоқлашувчидир.