Сонлар назариясининг аддитив масалалари

8,9-МАВЗУ. КЎРСАТИКИЧГА ҚАРАШЛИ СОНЛАР ВА БОШЛАНҒИЧ ИЛДИЗЛАР.
Режа:

1. 
   Кўсаткичга қарашли сонлар ва бошланғич илдизлар.
   
2. 
   Кўрсаткичга қарашли сонларнинг баъзи хоссалари.
   
3. 
   Кўрсаткичга карашли синфларнинг мавжудлиги ва уларнинг сони
   
4. 
   Адабиётлар [2,5,6].
   

1. Таърифлари. Агар a,m)=1 бўлиб >0

ни қаноатлантирувчи энг кичик бутун сон бўлса, у ҳолда а сони m модули бўйича  кўрсатикичга тегишли дейилади.
Шуни ҳам таъкидлаш керакки, агар (a, m)=d > 1 бўлса, (1) таққосламани ўринли бўлмайди, чунки унинг ўнг томони d га бўлинмайди.
Маълумки,a,m)=1 бўлса, Эйлер теоремасига кўра

Демак, 0 < (m).
Агар қ(m) бўлса, яъниа сони m модули бўйича (m) кўрсаткичга тегишли бўлса, а ва m модули бўйича бошланғич илдиз дейилади.
Агар m=р туб сон бўлса, а сони р модул бўйича бошланғич илдиз бўлиши учун у р-1 кўрсаткичига тегишли бўлиши керак.
а сонининг m модули бўйича тегишли бўлган кўрсаткичини топиш учун куйидагича йўл тутиш мумкин: ларни ҳисоблаймиз, токи биринчи шартни қаноатлантирувчи  ни ҳосил қилгунча қадар.
Мисоллар. 1) 2 сонининг 7 модули бўйича тегишли бўлган даража кўрсаткичини топинг.
Демак 2 сони m=7 модули бўйича 3 кўрсаткичига тенг.
(7)=6 бўлгани учун 2 сони 7 модули бўйича бошланғич илдиз эмас.
2) 3 сони m=7 модули бўйича қандай кўрсаткичга тегишли эканлигини аниқлайлик.

Демак, 3 сони m=7 модули бўйича тегишли бўлган даража кўрсаткичи 6 га тенг ва (7)=6 бўлгани учун 3 m=7 модули бўйича бошланғич илдиз бўлади.
3) 5 нинг m=7 модули бўйича қандай кўрсаткичга тегишли эканлигини аниқлайлик.

Демак, 5 ҳам m=7 модули бўйича бошланғич илдиз экан. Шундай қилиб бирта m модули бўйича бир нечта бошланғич илдизлар бўлиши мумкин экан.
2. Энди кўрсаткичга қарашли сонларнинг баъзи хоссаларини қараймиз.
бўлса, у ҳолда лар m модули бўйича бир хил кўрсаткичга тегишли бўлади.
Исботи. Тескарисини фараз этайлик а сони m модули бўйича  кўрсаткичга кўрсаткичга тегишли бўлиб бўлсин. У ҳолда агар бўлса, дан бўлгани учун га эга бўламиз. Бунинг бажарилиши мумкин эмас, демак бўлиши мумкин эмас. Агарда бўлса, ни марта ўз-ўзига ҳадлаб кўпайтириб ва дан фойдалансак га эга бўламиз. Бундай бўлиши мумкин эмас ва демак бўла олмайди. Шундай қилиб .
Демак, агар а сони m модули бўйича  кўрсаткичга тегишли бўлса а билан таққосланувчи сонлар нинг барчаси шу  кўрсаткичга тегишли бўлар экан.
2⁰. Агара сони m модули бўйича  кўрсаткичга тегишли бўлса, у ҳолда

сонлари m модули бўйича ўзаро таққосланмайди.
Ҳақиқатан ҳам агар бўлса, у ҳолда бўлади. Бу ерда 0<k-l< ,бўлгани учун бу охирги таққосламанинг бажарилиши мумкин эмас.
Бу хоссадан келиб чиқадики, агар бўлса, (3) система m модули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системасини ташкил қилади.
Мисол. Биз юқорида 3 сонининг 7 модули бўйича бошланғич илдиз эканлигини кўрдик. Энди 3 сони (3) системани тузсак у 7 модули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системасини ҳосил қилиши керак. Шуни текширамиз.

1,3,2,6,4,5 сонлар 7 модули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системасини ташкил этади.
3⁰. Агар а сони m модули бўйича  кўрсаткичга тегишли бўлса, у ҳолда

бўлиши учун бўлиши зарур ва етарлидир.
Исботи. бўлсин. У ҳолда . Бундан фойдаланиб () ни қуйидагича ёза оламиз:
Бу ерда бўлгани учун Бундан
.
2) . Аксинча, бўлиб, бўлиб. У ҳолда

Натижа.1). Агар а сони m модули бўйича  кўрсаткичга тегишли бўлиб, бўлиши учун бўлиши зарур ва етарлидир.
Исботи теоремада деб олиш кифоя.
2). Агара сони m модули бўйича  кўрсаткичга тегишли бўлса, .
2-натижадан фойдаланиб  ни топиш жараёнини бироз соддалаштириш мумкин, яъни  бу  (m) нинг бўлувчилари орасида бўлади.
Мисол. 17 модули бўйича 5 сони теишли бўлган даража кўрсаткичини аниқлайлик. 16 нинг бўлувчилари 1, 2, 4, 8,16. .
Демак, 5 сони 17 модули бўйича бошланғич илдиз бўлади.