Sonli qator va uning yig‘indisi Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari Qator yaqinlashishining zaruriy sharti

a₁, a₂, … a_n (1)

kabi ifodalanadi va umumiy holda kabi belgilanadi.

Ta’rif: a_n ­­­­­sonli ketma - ketlikning hadlaridan tuzilgan

a₁ + a₂ +…+ a_n +…= (2)

ifodaga sonli qator deyiladi.

Sonli qatorning umumiy hadi a_n dan iborat bo’lib, a₁, a₂,… lar (2) qatorning hadlari deyiladi.

S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; S₂=a₁+a₂+ a₃;…; S_n=a₁+ a₂+…+ a_n (3)

larga berilgan (2) qatorning xususiy yig’indilari deyiladi.

Quyidagi (4)

qatorga (2) ning n qoldig’i deyiladi. Bunda k – hadi a_n+1 ga teng.

Qator yig’indisi deb (2) qatorning n → ∞ dagi limitiga aytiladi va yig’indi

(5)

kabi ifodalanadi.

Qatorlar ketma – ketlikning alohida ko’rinishlaridan iborat bo’lganligi sababli, ularning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash qatorlar nazariyasining asosiy maqsadlaridan biri bo’lib hisoblanadi.

Agar n ning cheksiz o’sishi bilan (2) qatorning (3) xususiy yig’indilari chekli limitga ega bo’lsa, (2) qatorga – yaqinlashuvchi qator deyiladi. Agar xususiy yig’indilari chekli limitga ega bo’lmasa, (2) qatorga – uzoqlashuvchi qator deyiladi.

1-misol. Quyidagi qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlang.

Yechilishi: Berilgan qator geometrik progressiyaning umumiy formulasidan iborat. Bunda barcha n lar uchun

yig’indi bo’lganda bo’lib,

bo’ladi.

Demak, bo’lsa, berilgan qator yaqinlashadi hamda quyidagi

o’rinli bo’ladi.

Agar bo’lsa, bo’ladi. Shuning uchun ketma – ketlik chegaralanmagan. U holda, limitga ega bo’lmaydi. Bundan ketma – ketlikning ham limitga ega emasligi kelib chiqadi. Demak, da berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.

Agar bo’lsa,

S₁=1; S₂=2; … S_n=n;…

bo’lib, berilgan qator uzoqlashadi.

Agar bo’lsa,

S₁=-1; S₂=-1+1=0; S₃=-1; S₄=0;…

ya’ni, toq nomerli xususiy yig’indilar O ga teng bo’ladi. Bunday ketma –ketlik limitga ega emas, demak, qator uzoqlashuvchidir.

1-Teorema. Agar berilgan qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning ixtiyoriy qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Shuningdek, berilgan qatorning ixtiyoriy qoldig’i yaqinlashsa – qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. (Teoremaning isboti talabalarga havola qilinadi).

Quyidagi teoremani ham isbotsiz keltiramiz:

2-Teorema. Agar hadlari manfiy bo’lmagan qatorning xususiy yig’indilari ketma – ketligi chegaralangan bo’lsa, u holda qator yaqinlashadi. Agar hadlari manfiy bo’lmagan qatorning xususiy yig’indilari ketma – ketligi chegaralanmagan bo’lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo’ladi.

2-misol. Qatorning yaqinlashishini ko’rsating:



Yechilishi: Berilgan qatorning dagi xususiy yig’indisining shaklini o’zgartiramiz, ya’ni:

Bunda, .

Demak, berilgan qator chekli limitga ega ekan.

MUSTAQIL YECHISH UCHUN MASHQLAR

№ 1. Umumiy had berilgan bo’lsa, uning 5 ta hadini toping:

a) b)

№ 2. Qatorning umumiy hadini toping:

a) b)

v) g)

№ 3. Xususiy yig’indilarini toping va yaqinlashishini tekshiring. Yaqinlashuvchi bo’lsa, uning yig’indisini toping.

№ 4. Yaqinlashishini tekshiring.

№ 5. Qatorning yaqinlashishini tekshiring, yaqinlashuvchi bo’lsa, S ni toping:

№ 6. Quyidagi qator yaqinlashuvchimi:

2+2²+2³+…+2ⁿ+…?

№ 7. Qatorni tekshiring:

2. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti

Teorema. Agar umumiy hadli qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda n→∞ da =0 bo’lishi zarur.

Isboti: Berilgan qator bo’lib, u yaqinlashuvchi hamda uning yig’in-disi S ga teng bo’lsin. U holda,

ya’ni, chekli S limitga ega. U holda, (n-1)→∞ bo’lganda ham quyidagi o’rinli bo’ladi:

Teoremaga ko’ra =0, shuning uchun S_n - S_n-1=0 bo’ladi. U holda,

Teorema isbot bo’ldi.

1–misol. Quyidagi qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsating:

4+2+1+

Yechilishi:

Demak, qator yaqinlashuvchi ekan, chunki teoremaga asosan

.

Berilgan qator elementlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyadan iborat bo’lganligi sababli, quyidagi o’rinlidir, ya’ni:

Bunda,

Demak, berilgan qator ikkala holda ham yaqinlashuvchi ekan.

2- misol. Quyidagi qator yaqinlashuvchi bo’la oladimi:

?

Yechilishi: Ushbu qator uzoqlashuvchi, chunki ikkinchi ajoyib limitga asosan:

.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MASHQLAR

№ 8. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajariladimi:

?

№ 9. Berilgan qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajariladimi:

?

№ 10. Ushbu qator uchun yaqinlashishning zaruriy sharti bajariladimi:

?

№ 11. Quyidagi garmonik qator uchun yaqinlashishning zaruriy sharti bajarilishini tekshiring:

№ 12. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilishini tekshiring:

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Sonli qator deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring.
   
2. 
   Sonli qatorning qismiy yig‘indisi nimadan iborat?
   
3. 
   Yaqinlashuvchi sonli qator uchun qanday shart bajarilishi kerak?
   
4. 
   Garmonik qator nima?
   
5. 
   Yaqinlashuvchi sonli qatorning asosiy xossalarini bayon qiling.