Sonli qatorlar mavzu. Sonli qatorlar va ularningning yaqinlashishi. Absolyut va shartli yaqinlashish Reja

Natija (Koshi alomatining limit ko`rinishi). Faraz qilaylik, musbat hadli (11.9) qatorda mavjud bo’lsin. U holda:

1. 
   bo’lganda (11.9) qator yaqinlashuvchi bo’ladi,
   
2. 
   bo’lganda (11.9) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
   

11-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Yechish. Bu qatorning umumiy hadi bo’lib, uning uchun

bo’ladi. Ravshanki,
.
Demak, , berilgan qator yaqinlashuvchi. ►
1-eslatma. Koshi alomatidagi (11.10) va (11.11) tengsizliklar ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham tasdiq o’rinli bo’ladi.
2-eslatma. Koshi alomatining limit ko’rinishidagi ifodasida bo’lsa, u holda (11.9) qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo’lishi mumkin.
. Dalamber alomati. Agar musbat hadli
(11.9)
qatorda barcha uchun
(11.12)
bo’lsa, (11.9) qator yaqinlashuvchi bo’ladi;
(11.13)
bo’lsa, (11.9) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Dalamber alomatining quyidagi limit ko’rinishidagi ifodasi mavjud.
Natija (Dalamber alomatining limit ko`rinishi). Faraz qilaylik, musbat hadli (11.9) qatorda

limit mavjud bo’lsin. U holda :
1) bo’lganda (11.9) qator yqkinlashuvchi bo’ladi.
2) bo’lganda (11.9) qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
12-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Yechish.Berilgan qator uchun

bo’lib,

bo’ladi. Ravshanki,

Demak, , berilgan qator yaqinlashuvchi. ►
3-eslatma. Dalamberalomatidagi (11.12) va (11.13) tengsizliklar ningbiror qiymatidanboshlabbajarilgandahamtasdiqo’rinlibo’ladi.
4-eslatma. Dalamberalomatininglimitko’rinishidagiifodasida bo’lsa, uholda (11.9) qatoryaqinlashuvchiham, uzoqlashuvchihambo’lishimumkin.
. Koshi integral alomati. Faraz qilaylik, musbat hadli

qator berilgan bo’lsin. Ayni paytda oraliqda berilgan funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya da uzluksiz ,
2) funksiya da kamayuvchi,

3. 
   3)
   
4. 
   4)
   

Bunda berilgan qator ushbu

ko’rinishga keladi.
Yuqoridagi shartlardan foydalanib, bo’lganda

bo’lishini topamiz. Keyingi tengsizlikni oraliq bo’yicha integrallash natijasida
(11.14)
bo’lishi kelib chiqadi.
Endi berilgan
qator bilan birga ushbu

qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig’indisi

bo’ladi.
Aytaylik, funksiya oraliqda funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsin:
Uni quyidagicha

ifodalash mumkin. Natijada

bo’ladi.
Agar chekli songa intilsa, (bu holda (11.9) qatorning qismiy yig’indisi chekli limitga ega bo’ladi) unda (11.9) qator yaqinlashuvchi.
Binobarin, ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’ladi. (11.14) munosabatga ko’ra berilgan qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo’lib, musbat hadli qatorlarning yaqinlashuvchiligi haqidagi teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
Agar da bo’lsa, berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagi integral alomatga kelamiz.