Eslatma. Qatorning umumiy hadi da nolga intilishidan uning yaqinlashuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi
5-misol. Ushbu
Qatorni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
Yechish. Bu qatorning umumiy hadi bo’lib, u da nolga intiladi. Ammo bu qator uzoqlashuvchi , chunki
ketma-ketlik da ga intiladi: ►
Yuqorida keltirilgan 4)- xossa qator yaqinlashuvchi bo’lishining zaruriy shartini ifodalaydi.
5) Aytaylik,
(11.1)
qator berilgan bo’lsin. Bu qatorning hadlarini guruhlab quyidagi
(11.3)
qatorni hosil qilamiz, bunda
bo’lib, ketma-ketlik natural sonlar ketma-ketligi ning qismiy ketma-ketligi.
Agar (11.1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi ga teng bo’lsa, u holda (11.3) qator ham yaqinlashuvchi va yig’indisi bo’ladi.
3. Qatorning yaqinlashuvchiligi. Koshi teoremasi. Faraz qilaylik,
sonli qator berilgan bo’lsin. Ma’lumki, bu qatorning yaqinlashuvchiligi ushbu
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo’lishidan iborat, ya’ni ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo’lishi uchun
da
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Bu tushuncha va tasdiqdan qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi. Mk
1-teorema (Koshi teoremasi). qator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun son olinganda ham shunday topilib, bo’lganda
(11.4)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. (11.1) qatorning qismiy yig`indilari ketma-ketlik uchun bo`lganligidan (11.4) shartning bajarilishi ketma-ketlikning fundamental ekanligini beradi, bundan (11.4) shart ketma-ketliklar uchun Koshi kriteriyasiga ko`ra ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo’lishini beradi va bu (11.1) qator yaqinlashishiga teng kuchlidir.
Eslatma. Agar qator uchun (1.4) shart bajarilmasa, ya’ni
, (11.5)
bo’lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
