|
Yechilishi: Ma`lumki, barcha n lar uchun qator yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki nisbat 0 ≤ ≤ 1 da joylashgan. U holda, taqqoslash teoremasiga asosan istalgan X€R uchun berilgan qator yaqinlashuvchidir.
Lemma. Hadlari musbat bo`lgan qator berilgan bo`lsin. U holda, shunday q mavjud bo`lsaki, barcha n lar uchun quyidagi
(1)
tengsizlik o`rinli bo`lsa, qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Agar n lar uchun
(2)
bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isboti: Agar (1) – shart bajarilsa,
an+1≤q an+1≤ q2an-1≤…≤a1qn (3)
bajariladi. U holda, barcha n lar uchun
an≤ a1qn-1 (4)
o`rinli bo`ladi. 0bo`lganda qator yaqinlashuvchi bo`lganligi uchun taqqoslash teoremasiga asosan berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, lemmaning birinchi qismi isbot bo`ldi.
Agarda shart bajarilsa,
an-1≥an≥…> a1 (5)
bo`ladi. Bunda barcha n lar uchun an≥a1≥0 o`rinlidir. Bu holda, qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajrarilmaydi. Demak, qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Lemmaning ikkinchi qismi ham isbot bo`ldi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
