Sonli qatorlar. Yaqinlashuvchi qatorlar ta’rifi va xossalari Tayanch so’z va iboralar

2. Dalamber alomati

Teorema. Agar a_n hadlari musbat bo`lgan qator uchun quyidagi

(6)

shart bajarilsa, q < 1 bo`lganda qator yaqinlashuvchi, q1 bo`lganda esa qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

Isboti: Ketma – ketlik limiti ta`rifidan ma`lumki, har qanday son uchun shunday N mavjud bo`ladiki, uning uchun barcha n ≥ N larda

tengsizlik o`rinli bo`ladi.

Agar q<1 bo`lsa, ni q+<1 bo`ladigan qilib tanlab, barcha

n ≥ N lar uchun

ni hosil qilamiz. Bundan ko`rinadiki, berilgan qatorning N – qoldig`i lemmaning (1) shartini qanoatlantiradi. Demak, qator yaqinlashuvchi ekan.

Agar q>1 bo`lsa, ni q–>1 ko`rinshida tanlab, barcha n≥N lar uchun

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu holda qatorning N–qoldig`i lemmaning (2) – shartini qanoatlantiradi. Demak, qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Teorema isbot bo`ldi.

1-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.

Yechilishi: Shartga asosan

Demak,

Ammo berilgan qator garmonik qator bo`lganligi sababli u uzoqlashuvchidir.

2-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.

Yechilishi: Berilganlarga ko`ra , bundan

U holda,

.

Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi ekan.