Sonli qatorlar. Yaqinlashuvchi qatorlar ta’rifi va xossalari Tayanch so’z va iboralar

4. Qator yaqinlashishining integral alomati

Qator yaqinlashishining yetarli shartlaridan biri, yaqinlashishning integral alomatidir.

Teorema. f(x) funktsiya x ≥ 1 sohada aniqlanuvchi va x ≥ a ≥ 1 da uzluksiz hamda musbat va kamayuvchi bo`lsin. U holda,


yoki
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun

a_n=f(n)=f(x)

bo`lib,

xosmas integralning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.

Teorema isbotini qiziquvchilarning o`zlariga havola qilamiz.

Misol.

qator yaqinlashishini yaqinlashishining integral alomati yordamida ko`rsating.

Yechilishi: Agar a≤o bo`lsa, berilgan qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Shuning uchun a>o da qatorni tekshiramiz. deb olib, berilgan qatorni quyidagi ko`rinshda ifodalay olamiz:

f(1)+f(2)+…+f(n)+… (A)

funktsiya x ≥ 1 sohada uzluksiz musbat va kamayuvchi bo`lganligi uchun xosmas integral yaqinlashishining integral alomatiga asosan yaqinlashuvchi bo`ladi. Lekin a≠ 1 bo`lganda

bo`ladi. Agar a = 1 bo`lsa,

.

Demak, xosmas integral faqatgina a > 1 bo`lganda yaqinlashuvchi bo`ladi. Shunindek, berilgan qator a>1 da yaqinlashadi, a≤1 bo`lganda esa uzoqlashuvchi bo`ladi.

O‘z – o‘zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Sonli qator deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring.
   
2. 
   Sonli qatorning qismiy yig‘indisi nimadan iborat?
   
3. 
   Yaqinlashuvchi sonli qator uchun qanday shart bajarilishi kerak?
   
4. 
   Garmonik qator nima?
   
5. 
   Yaqinlashuvchi sonli qatorning asosiy xossalarini bayon qiling.