Sonning ketma-ketligi va uning limiti. Funksiya limiti

Geometrik progressiyaning kundalik hayotimizdagi o`rni.

Biz bu progressiyada yaqqol misol qilib kimyo ,fizika dagi moddalarning bo`linish yo`li bilan ko`payishini aytishimiz mumkin.

Nafaqat moddalar balki bo`linish yo`li bilan ko`payadigan tirik jon yani bakteriyalar ham buning isbotidir.
Ko`payish jarayonida

• 
  1 ta modda
  
  • 
    2 ta modda
    
  • 
    4 ta modda
    
  • 
    8 ta modda
    
  • 
    16 ta modda
    
  • 
    32 ta modda shu kami davom eta veradi
    

FUNKSIYA LIMIT
LIMIT «chegara» tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida ham ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton tomonidan ishlatilgan (1642-1727), shuningdek unga, XVIII asr matematigi Leonard Eyler (1707 -1783) va fransuz matematigi, astronomi va mexaniki Jozef Lui Lagranj (1736 - 1813)lar asos solishgan. Birinchilardan bo'lib ketma-ketlik chegarasining qat'iy ta'riflari 1816-yilda matematik, faylasuf, ilohiyotchi Bernard Bolzano (1781 - 1848) va 1821-yilda fransuz matematik Avgustin Lui Koshi (1789 - 1857) tomonidan berilgan.

Agar ixtiyoriy musbat 𝜀 son uchun 𝓍 = 𝓍0 nuqtani o’z ichiga olgan shunday interval ko’rsatish mumkun bo’lsaki, bu intervalning 𝓍 = 𝓍0nuqtadan tashqari hamma yerida |𝒻 (𝓍)− 𝑙| < 𝜀 tengsizlik bajarilsa, 𝑙 soni 𝒻 (𝓍) funksiyaning 𝓍 ning 𝓍0 ga intilgandagi limiti deyiladi va • lim 𝓍→𝓍0 𝒻 (𝓍) = 𝑙 ko’rinishda yoziladi.

TADQIQOT Limitlar nazariyasi iqtisodiy hisob-kitoblarda juda faol qo'llaniladi.

1-Ta'rif uzluksiz bo'lgan isbot va hisob-kitoblarda agar b nuqtaning har qanday e atrofida doimo a nuqtaning shunday 8 atrofi topilsaki, unda x argumentning ana shu atrofga tegishli istalgan qiymati uchun f (x) funksiyaning qiymati b nuqtaning e atrofiga tegishli bo'lsa, x o'zgaruvchi a ga intilganda b son f (x) funksiyaning limiti deyiladi va lim f (x) = b kabi belgilanadi.
x^a
2-Ta'rif. Agar istalgan S > 0 son uchun shunday S > 0 son topilsaki, 0 < X — a < S tengsizlik
bajarilsa, A soni X ^ a da f (x) funksiyaning limiti deyiladi va bunday belgilanadi: lim f (x) = A .
Agar har bir S > 0 son uchun shunday 8 > 0 son topilsaki, 0 < |x — a| < S bajarilganda \f {x)— A| Berilgan f {x) funksiyaning limiti qaralayotgan a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funksiyaning a nuqtadagi limiti topilganda x ^ a deb qaraladi. Funksiyaning limiti 8, S va a larga bog'liq bo'ladi. Bunda quyidagi uch holni qarab o'tamiz:
1. a = r_o va A - chekli.
2. a - chekli va A ^ r_o .
3. a = r_o va A = r_o .
Endi bu hollar uchun funksiya limitiga ta'riflar beramiz.
l.Oldindan berilgan har qanday cheksiz kichik S> 0 son uchun shunday A son topilsaki, |x| > A bo'lganda \ f {x)— A| < S bo'lsin: lim f {x) = A .
x^ro
2.Oldindan berilgan har qanday istalgancha katta E > 0 son uchun shunday 8 > 0 son topilsaki, |x — a < 8 bo'lganda
If {x)> E bo'lsin:
lim f {x) = ro .
x^a
3.Oldindan berilgan har qanday istalgancha katta E > 0 son uchun shunday A > 0 son topilsaki, x > A bo'lganda f {x) > E kelib chiqsin: lim f {x) = ro .
x^ro
NATIJALARI
Funksiya limiti ta'rifidan foydalanib, quyida funksiyalar limitlarini topamiz.
1-misol. O'zgarmas sonning limiti shu sonning o'ziga tengligini isbotlang.
Isboti: Faraz qilaylik, f {x) = c berilgan bo'lsin. U holda, har qanday S > 0 uchun f {x) — C = C — C = 0 2-misol.
Har bir musbat butun son uchun i Xi topologik fazo boʻlsin (faktor fazosi deb ataladi) va f_i:X_i+ boʻlsin. 1 lim→ X_i uzluksiz funksiya bo'lsin (bog'lanish

xaritasi deb ataladi). {Xi ,fi}i∈Z+ ketma-ketligi teskari ketma-ketlik deyiladi va teskari chegaraviy fazo quyidagicha aniqlanadi:

Teskari chegara fazosiga pastki fazo sifatida meros qilib olingan topologiyani beramiz ∞ i=1 X_i . Agar har bir omil maydoni, X_i - bu ko'rsatkich metrik bilan bo'sh joy, di, 1 bilan chegaralangan bo'lsa, u holda biz lim bo'yicha metrikaga ega bo'lamiz lim←− {X_i f_i}:

3-misol.
Har bir i butun soni uchun p i : lim proyeksiya xaritasini aniqlaymiz

lim←−{X_i f_i} → Xi boʻyicha p_i[(z₁ z₂ ...)] = z_i.

n>m bo'lgan ikkita musbat m va n sonlar berilgan bo'lsa, f dan foydalanamiz

n m xaritani belgilash uchun f_m ◦ f_m+1 ◦···◦ f_n-1 :X_n lim→ X_m. Bu buni ko'rish oson pm(z) = f n m ◦ pn(z) (10) har bir z ∈ lim uchun lim ←−{X_i ,f_i}.

Musbat butun sonni aniqlang

N. Berilgan teskari ketma-ketlik {X_{i ,} f_i} let { Y , g } bilan boshqa teskari ketma-ketlik bo'lsin Y_i= X_i+N va g_i= f_i+N . Biz limni belgilaymiz lim←−{Y_i ,g_i} oddiy lim orqali lim←−{ X_i+N , f_i+N}