Специальные вопросы геометрии

Глава 2. Векторный метод решения геометрических задач

2.1 Суть векторного метода решения геометрических задач

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.
Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях.
Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора a→ и b→ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число k≠0, такое, что удовлетворяется следующее равенство
Утверждение 2: Если векторы a→ и b→ не коллинеарны, то любой вектор c→, компланарный с данными векторами можно представить в виде линейной комбинации и притом единственным образом:
Утверждение 3: Любой вектор d→ в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам a→, b→ и c→:
При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.
Общая схема для решения геометрических задач векторным методом. При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой: Провести анализ условия задачи:
а) Выяснить в какой системе координат (двумерной или трехмерной) рассматривается данная задача;
б) Записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертеж по условию задачи. Перевести условие задачи и требования к векторному виду. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи. Перевести полученный результат на геометрический язык.
Примеры типов задач, которые решаются векторным методом.
Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода (Не приводя их решений).

• 
  Задачи на доказательство параллельности.
  
• 
  Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.
  
• 
  Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
  
• 
  Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости.
  
• 
  Задачи на доказательство перпендикулярности. Задачи на вычисление длины отрезка.
  
• 
  Задачи на нахождение величины угла.
  
• 
  Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.