Специальные вопросы геометрии

I. Различные методы решения планиметрической задачи на примере конкретной задачи
Нами была выбрана планиметрическая задача, которую можно было решать различными методами.
Задача:
Найти среднюю линию MN трапеции ABCD с основаниями BC и AD, если BD = 6см, AC = 8см, ^AC.


1. Методы, использующие дополнительные построения (ДП)
1.1 «Прямая параллельная диагонали» [5, №33.8]

1. ДП: проведем CE||BD, CE∩AE=EЮBCED - параллелограмм, (BD||CE и BC||DE, BC=DE=a, CE=BD=6см.)

2. Рассмотрим ∆ACE: РACE=90° (BD||CE, AC^BD ЮAC^CE) AE=√AC²+CE²=√64+36=10. MN=1/2AE = 5.
Ответ: MN = 5см.
1.2 «Средние линии треугольников»


1. Д.П.: проведем средние линии ∆ABD (MK||BD) и ∆ACD (NK||AC)
2. Рассмотрим ∆ABD: MK=6/2=3см; ∆ACD: NK=8/ =4
3.∆MNK:Р NKM=90° (MK||BD, NK||AC и BD^ACЮMK^NK) ЮMN=ЦMK²+KN²=√3²+4² =5
Ответ: MN=5
1.3 «Середины сторон трапеции»

1. Соединим середины сторон трапеции. XMYN - параллелограмм (XN||BD, MY||BDЮXN||MY; XM||AC, NY||AC ЮXM||YN);
РMYN = 90° (AC||YN, BD||MY; BD^ACЮYN^MY) ЮXMYN - прямоугольник .YM=3(MY - средняя линия ∆ABDЮMY= 1/2BD); NY=4(NY - средняя линия ∆AС ЮNY=½ AC).
2. ∆MNY: MN=√3²+4²=5
Ответ: MN=5.
1.4 «Первый признак равенства треугольников»
1.Д.П.: Продлим AC на AM₁=OC и BD на DN₁=OB.

2. По теореме Пифагора в ∆M₁ON₁: M₁N₁=10.
3. Проведем M₁K||N₁D. MK∩AK=K.
4. ∆BOC=∆KAM₁ (поΙ признаку: =KM₁, OC=AM₁, по построению, РBOC=РKM₁A=90°, накрест лежащие при BN₁|| KM₁, M₁C - секущей) AK=BC.