Специальные вопросы геометрии

5. M₁KDN₁ - параллелограмм, DK=M₁N₁ =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5. Ответ: MN=5
1.5 «Второй признак равенства треугольников»
1.Д.П.: Продлим AC на AM₁=OC и BD на DN=OB.

2. Рассмотрим ∆OMN, РNOM=90°, тогда по теореме Пифагора в ∆MON MN=10.
. Постоим: AE^MN, DF^MN, OK^BC.
4. ∆AME = ∆KOC и ∆DFN=∆BOK (по II признаку)Ю ME=KC, FN=BKЮMN=BC+AD=a+b=10ЮMN=10/2=5.
Ответ: MN=5.
1.6 «Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства параллельных прямых»
1. Д.П.: Через т. B проведем прямую EM₁||AC

2.Через т.C проведем EN₁||BD.
3.Через т. D проведем прямую N₁F||AC.
4.Через т. A проведем прямую EM₁||BD.
.Получившийся четырехугольник M₁EN₁F - прямоугольник (E M₁||AC, M₁F||BD и AC^BDЮ M₁F^N₁F) EN₁=M₁F=6 и EM₁=N₁F=8, по теореме Пифагора диагональ прямоугольника M₁N₁=10.
6.Пусть BC=a, AD=b из равенства прямоугольных треугольников М₁ВК и ADF M₁K=AD=b. Из равенства прямоугольных треугольников ВСО и КDN₁ KN₁=BC=a.
7. M₁K+KN₁=M₁N₁= a+bЮMN=M₁N₁/2=5
Ответ: MN=5.
2. Методы, основанные на подобии треугольников.
2.1 «Подобие треугольников». [1, п. 59]

1.∆ BOC~∆AOD (по 2-м углам РBOC=РAOD=90° и РCBO=РADO как накрест лежащие при BC||AD, BD - секущая) y= 4/3x, x<3 (половины AC)
2.По теореме Пифагора:∆AOD: AD= Ц(8-х)²+ (6-у)², =4x/3ЮAD=√25/9x² - 100/3+100.
3. ∆ BOC: BC=5x/3 (по т.Пифагора).
4. MN= (AD+BC)/2, подставим: AD=√25/9x²-100/3+100 и BC=5x/3 получим: 3l²-5lx+25x-75=0. MN=25x2-12(25x-75) =25(x-6)², MN= (10x-30)/6=5x/3-5<0 - посторонний корень, MN= (5x-5x+30)/6=5