Специальные вопросы геометрии

2.2 Примеры решения геометрических задач векторным методом

Задача 1: В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD разделены в отношении 1:2 и 2:3 соответственно точками и . Разложить вектор по векторам и . (Рис.1.)

Решение:
Используя правило сложение векторов, выразим векторы и через векторы и следующим образом:

; .
Векторы и коллинеарны векторам и соответственно, поэтому
, .
В четырехугольнике ABQP можно записать следующее соотношение:
.
Ответ: .
Задача 2: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти координаты четвертой вершины D. (Рис. 2.)
Решение:
Запишем вектор и найдем координаты векторов = (-2;-4;2), = (3;2;3) и = (1;-2;5). Зная координаты точки В(3;2;1) – начала вектора , находим координаты точки D(4;0;6).
Ответ: (4;0;6).
Задача 3: Векторы компланарны. Найти координаты вектора , длина которого равна , если он перпендикулярен вектору и .
Решение:
Вектор компланарен неколлинеарным векторам и тогда и только тогда, когда существуют такие числа , что . В координатной форме это равенство имеет вид . Условие перпендикулярности векторов и запишем в виде , откуда

Т. к. длина вектора = равна и , поэтому и
Ответ:
Задача 4: Доказать, что точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7), D(3;1) служат вершинами трапеции. Найти длину средней линии этой трапеции.
Решение:
По известным координатам точек А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) вычисляем координаты векторов , . Замечаем, что одноименные координаты векторов и пропорциональны, а координаты векторов и непропорциональны. Таким образом, точки А, В, С, D служат вершинами трапеции, а отрезки ВС и AD являются вершинами трапеции ABCD.
Вычислим длину средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме
оснований. Значит, ,
, , откуда .
Ответ: .
Задача 5: На координатной плоскости точки А(0;0) и В(1;2) являются вершинами правильного треугольника. Вычислить координаты вектора , образующего тупой угол с осью абсцисс, если С – третья вершина треугольника. (Рис. 3.)

Решение:
По условию задачи ˚. Запишем скалярное произведение векторов и в виде .

С другой стороны, ˚ = . Значит, . Т. к. , то получаем уравнение:

Находим, что . Т. к. вектор образует с осью абсцисс тупой угол, то х < 0 и y > 0. Тогда имеет координаты .
Ответ: .
Задача 6: На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ = 2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что AK = 2CK и BL = 3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM? (Рис. 4.)
Решение:
Обозначим .
Пусть (в силу коллинеарности векторов). Т. к. . Тогда . С другой стороны, . Таким образом, . В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получаем систему уравнений:

Ответ: 3:4.
Задача 7: В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник АВС. Пусть М – произвольная точка окружности. Чему равна сумма ? (Рис. 5.)

Решение:
Пусть О – центр описанной окружности.

= =

Покажем, что . В самом деле:
.
Таким образом, = .
Ответ: .
Задача 8: Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеют длину а, точка М – середина ребра CD. На ребрах SA и BC взяты соответственно точки E и F так, что AE:AS= =BF:BC. Найти наименьшую возможную длину отрезка EF и при этом условии найти угол между прямыми EF и SM. (Рис. 6.)
Решение
Обозначим .
Выразим через векторы :


Получили, что . Находим скалярный квадрат вектора , используя, что

Видим, что имеет наименьшую длину тогда, когда выражение х²–х+1 принимает наименьшее значение, т. е. в вершине параболы: . Тогда . В этом случае E и F - середины AS и BC соответственно.
Найдем
;


Ответ:
Задача 9: Все ребра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину , М – центр грани АВВ₁А₁. На прямой ВС₁ взята точка N так, что отрезок MN перпендикулярен прямой СА₁. Найти длину MN. (Рис. 7.)
Решение:

_{Обозначим за Р середину АС;}

Выразим вектора через :

;
.
= + =
.
По условию задачи , где :
Получаем, что . Найдем скалярный квадрат вектор , используя, что , , : . Таким образом, .
Ответ: .
Задача 10: Дана замкнутая ломаная ABCDEFA. Точки M, N, P, Q, R, S – соответственно середины звеньев AB, BC, CD, DE, EF, FA. Доказать, что векторы MQ, RN и PS компланарны. (Рис. 8.)
Решение:
Выберем произвольную точку О. Тогда получим,
, , , , , ;
, , .
Видим, что , т. е. выполняется условие компланарности векторов.
Задача 11: Даны четыре прямые AB, BC, CD и DA, не лежащие в одной плоскости. На этих прямых даны соответственно по две точки P₁ и P₂, Q₁ и Q₂, R₁ и R₂, S₁ и S₂, такие, что
.
Доказать, что .
Решение:
Из условия задачи:

Умножим второе уравнение системы на (- n) и сложим с первым, получим . Но по условию задачи точки A, B, C, D не лежат на одной плоскости, поэтому векторы некомпланарны, вследствие чего
.
Задача12: В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ грань ABCD –квадрат со стороной а; ребро АА₁ также равно а и образует с ребрами АВ и АD углы, равные . Найти длину диагонали BD₁ и угол между прямыми ВD₁ и AC. (Рис. 9.)

Решение:
Обозначим . Выразим векторы и через :

;

;
;

;
.
Ответ: ; .
Задача 13: Даны три луча DA, DB, DC, не лежащие в одной плоскости. Известно, что . Докажите, что луч DВ перпендикулярен биссектрисе DD₁ угла ADC. (Рис.10)
Решение:
Отложим от точки D на данных лучах единичные векторы , и . Тогда . Из условия, что , следует:
,
то есть . Так как DD₁– биссектриса угла АDC, то DD₁ коллинеарен и, следовательно, .