Sterjenda issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini Fur'ye usuli (o'zgaruvchilarni ajratish usuli) yordamida yechish

l
Formula bilan hisoblanadi. Bunda
x
^{k } sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik

koeffitsiyenti bo’lib, u sterjen materialiga bog’liq.
Endi sterjenda issiqlik tarqalishining umumiy holini qaraymiz, ya’ni bu holda

ux,t 
funksiya qanday parametrlar orqali aniqlanishi va qanday qonuniyatga

bo’ysinishi haqida to’xtalamiz.

1. 
   Sterjenning ^x nuqtasiga mos ko’ndalang kesim yuzidan _t1,_t2 vaqt mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori
   

S _ k x _x

Q

1
_{ } ^t2 _{ }ux,t _dt
t₁

(1.1.3)

formula bilan ifodalanadi. k⁽x⁾- sterjen x nuqtasiga mos kesimning issiqlik

𝑜’𝑡𝑘𝑎𝑧𝑢𝑣𝑐ℎ𝑎𝑛𝑙i𝑘 𝑘𝑜𝑒ffi𝑡𝑠i𝑦𝑒𝑛𝑡i.

2. 
   Elementar fizikadan ma’lumki, bir jinsli issiqlik o’tkazuvchi jism temperaturasini ∆𝑢 ga oshirish uchun unga
   

𝑄₂ = 𝑐𝑚∆𝑢 = 𝑐𝜌𝑣∆𝑢
miqdordagi issiqlik miqdorini berish kerak. Bunda 𝑐 − jismning solishtirma issiqlik sig’imi, 𝑚 −jism massasi, 𝜌 −jism zichligi, v- jism hajmi bo’lib, jism bir jinsli bo’lganligi uchun bu parametrlar doimiy, ya’ni jism nuqtalariga va vaqtga bog’liq emas.

∫
Agarda sterjen bir jinsli bo’lmasa, bu qiymatlar sterjen nuqtalariga bog’liq bo’lib, unga berilgan issiqlik miqdori quyidagicha ko’rinish oladi:

𝑄₂
= 𝑆 ^𝑥2 𝑐⁽𝑥⁾𝜌⁽𝑥⁾∆𝑢⁽𝑥, 𝑡⁾𝑑𝑥
𝑥₁
(1.1.3)

3. 
   Sterjen ichki nuqtalarida issiqlik hosil bo’lishi mumkin. Bu issiqlik miqdori t vaqtda 𝑥 nuqtadagi issiqlik manbalarining F(x, t) zichligi bilan tavsiflanadi. Ushbu issiqlik manbalarining sterjen (𝑥₁, 𝑥₂) qismiga (t₁, t₂ ) vaqt mobaynida bergan jami issiqlik miqdori
   

formula bilan beriladi.
𝑄₂
= 𝑆
𝑡₂

∫
𝑡₁
^𝑥2 𝐹⁽𝑥, 𝑡⁾𝑑𝑥𝑑𝑡

∫
𝑥₁
(1.1.5)

Ushbu topilgan uchta issiqlik miqdorlari orqali sterjen (𝑥₁, 𝑥₂) qismi uchun (t₁, t₂ ) vaqt oralig’ida issiqlik balansi tenglamasi tuzib, sterjenda issiqlikning tarqalish tenglamasini hosil qilishimiz mumkin bo’ladi. Buning uchun energiyaning saqlanish qonuni va (1.1.3), (1.1.3) va (1.1.5) formulalardan foydalansak, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

∫^{𝑡2 [𝑘(𝑥}
₎ 6𝑢⁽𝑥₂,𝑡⁾ _{− 𝑘(𝑥
)} 6𝑢(𝑥₁,𝑡)_{] 𝑑𝑡 +}
𝑡₂
^𝑥2 𝐹⁽𝑥, 𝑡⁾𝑑𝑥𝑑𝑡 =
(1.1.6)

𝑡₁
² 6𝑥
¹ 6𝑥
∫_𝑡1
∫_𝑥1

(1.1.6) sterjenda issiqlik tarqalishining integral ko’rinishdagi tenglamasidir. Undagi integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab,
issiqlik tarqalishining differensial formadagi

^{ } k(x) ^{u(x,t) }  F (x,t)  c(x)(x) ^u

(1.1.7)


x ^

x _ t

Agar sterjen bir jinsli bo’lsa (1.1.7) tenglamada k, c va 𝜌 lar doimiy bo’lib, (1.1.7) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: