Sterjenda issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini Fur'ye usuli (o'zgaruvchilarni ajratish usuli) yordamida yechish

Teorema 2.5 (yagonalik). Faraz qilaylik, ^Q_T
sohada
u₁,u₂ (x,t)
funksiyalar

aniqlangan bo’lsin. Bu funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

u , ^ui C[Q ], ^²ui , ^²ui C[Q

], i

1,2,

ⁱ x ^T x² t ^T
va bir xil [2.3.2] chegaraviy masalaning yechimlari bo’lsin. Shunda Q_T sohada ^{u1 (x,t)  u2 (x,t)}

1. Koshi masalaning yechimining mavjudligi

Bir jinsli Koshi masalasini qaraymiz:

^ (2)
[2.3.3] ^(1)

u_t  a²u_xx ,
u(x,0)  (x),
-   x  ,
  x  .
0  t  T;

[2.3.3] 1-chegaraviy masalani yechimini topayotganimizdek bu yerda ham oldin malum bir almashtirishlarni o’tkazamiz. So’ngra esa hosil bo’lgan funksiya yechim ekanligini ko’rsatamiz.

v(x,t)
v(x,t)  X (x)T (t).
funksiyadan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantirishini talab

qilamiz:
T '(t) X (x)  a²X "(x)T (t).

Ikkala tomonini
a²X (x)T (t)
ga bo’lamiz, shunda hosil bo’lgan tengliklar

quyidagicha: ^{X  (x)} _ ^{T (t)} _{ }² _;
X (x) a ²T (t)

Bu yerda
^{  const} >0 ikkita tenglama xosil bo’ladi:
X ^ (x)  ² X (x)  0;
(2.3.4)

^{T (t)  a22T (t)  0.} (2.3.5)


^{X (x)  eix} funksiya (2.3.4), tenglamaning yechimi bo’ladi. Xuddi shunday qilib

_{T (t)  e}a ² ²t
funksiyamiz (2.3.5) tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak,

_{v(x,t)  e}ixa² ²t
birinchi tenglamaning yechimi bo’ladi.

_u _{ A()e}ixa² ²t
funksiya ham yechim bo’ladi (A (  )-qandaydir funksiya)

Endi yakuniy funksiya quyidagicha aniqlanadi


u(x, t)  _ A()e^ixa2^ 2^t d



boshlang’ich shartlani qanoatlantirishini talab qilamiz


u(x,0)  (x)  _ A()e^ix d


Endi, Fur’ye almashtirishtirishlar nazariyasinidan kelib chiqgan holda quydagicha topamiz

A 

A(
)  ¹ 2

_{ e}is_


19. 
    ds .
    

Shunday qilib bizlar u(x,t) :funksiya uchun quydagi ko’rinishini xosil qilamiz


u(x, t)  _




1
_{ } e
is_ ^ ixa ²i ²t
 

 ₁
 ^ 
_ei ( xs)a ² ²t _d ^ _(s)ds.

(s)ds_e d 

_
 ^2    ^2 

u(x,t) :
uchun yechim shunday ko’rinishga ega:

 _1
 (x  s)²_

(2.3.6)

u(x,t)  _

exp _
^{4a ²t} 
4a²t
_(s)ds.


G(x, s,t) 
1 _{exp } (x  s)²_,




belgilash kiritasak:
^ 4a²t ^

u(x,t) 


_G(x, s,t)(s)ds.



G(x, s,t)
funksiyamiz issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini s-fiksirlangan






bo’lganda qanoatlantirishini ko’rsatamiz:

G (x, s,t) 
1 _{exp } (x  s)²_{ } 2(x  s) _;

^{x } 4a²t ^ 4a²t ^

G (x, s, t) 
1 _{exp } (x  s)²_{ }

1 _{exp } (x  s)_ (x  s)²

^{t } 4a²t ^
 4a²t ^
4a²t²








1 ^ (x  s)^{2 } (x  s) ² 1 ^ (x  s)^{2 } 2

G_xx (x, s,t)  exp_
2 ^ x 2

• 
  exp_
  

_{2 }( ₂ )

4 ²t
_ 4a t
_ 4a t
4a²t
_ 4a t _
4a t

xx
^{G(x, s,t)  a 2G (x, s,t)} ekanligini tekshirish oson.

Endi bizlar xosil bo’lgan funksiyamizni qandaydir boshlangich shartlarda mavjud ekanligini ko’rishimiz kerak.

Teorem 2.6 (Koshi masalasi yechimining mavjudlik teoremasi). [2.3.3] Koshi

masalaning boshlang’ich shartlarini ^{ (x)}
yordamidi aniqlangan bo’lsin va

(x)  C(R), (x)  M ,x  R.

Shunda (2.3.6) formula bilan aniqlangan
u(x,t)
funksiya
x  R,t  0
bo’lganda

uzluksiz bo’ladi, ^u_t ^,u_xx
uzluksiz xosilalarga ega, agarda
x  R,t  0
bo’lsa, va issiqliq

o’tkazuvchanlik tenglamani qanoatlantiradi. x  R,t  0 va

0 0
x  R lim u(x,t)  (x )
t0 xx₀

lar uchun

Izox: Teoremaning oxirgi sharti quyidagi ma’noga ega.

_ ₁

^
u(x, t)  ^{ }


exp{
(x  s)²
4a²t

}(s)ds, t  0;


^(x),t  0.

(x, t) : x  R, t  0
da uzluksiz ekanligini oxirgi shart bildiradi.
Natija 1: Agarda teoremaning barcha shartlari
((x)  C(R), (x)  M )

bajarilsa,

demak biz
u(x,t)
funksiyamiz chegaralangan ekanligini xulosa qilishimiz mumkin.

 
u(x, t)  _ G(x, s, t)  (s)ds  M _G(x, s, t)ds  M .




Natija 2: Xuddi shunday qilib

(R  R ^ )



fazoda u(x,t) funksiyamiz cheksiz uzluksiz

ekanligini xosil qilishimiz mumkin.

 ^pu
^ _ p _G


(x, t) 
x^k t^m
_{ xk tm} (x, s, t) (s)ds,
(k  m  p)

bu integral esa tekis yaqinlashuvchi bulib, buni teorema isbotidagi tasdiklar orkali ko’rsatish mumkin.
Natija 3: Koshi masalasidagi shartlarni kabul qilib, biz issiqlik tarkalishining "cheksiz" tezligiga ega bo’lamiz.

Faraz qilaylik
(x)  u(x, o)
uzluksiz funksiyamiz
[a; b]
oralikdan boshqa barcha

joyda nolga teng bo’lsin. U holda quyidagiga ega bo’lamiz.

b
u(x, t)  _G(x, s, t) (s)ds  0
a

t  0,x  R

Teorema 2.7 (Koshi masalasi yechimining yagonaligi).Koshi masalasi berilgan

bo’lsin. Faraz qilaylik

(R  R^ )

fazoda bizlarga 2 ta uzluksiz
u₁,u₂ (x,t)
funksiyalar

berilgan bo’lsin va ular [2.3.3] masalaning yechimlari bulib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin.


u_i ( x, t)  M , ( x, t)  R  R ;

u  ²u
i  1,2


ⁱ , ⁱ  C (R  R )

shunda
t t ²



21
u₁(x,t)  u (x,t)(x,t) (R  R )

1.3. Yarim to’g’ri chiziqda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi va ikkinchi chegaraviy masala

1. Yarim to’g’ri chiziqda qo’ydagi birinchi chegaraviy masala

Yarim to’g’ri chiziqda qo’ydagi birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz:


  ^
utt
 a ² u ,
x  0,t  0;

xx
2.4.1 _


u(0,t)  0,
u(x,0)  (x),
t  0;
x  0.

bu yerda (x)  0 .
Butun Haqiqiy o’qda boshlang’ich shartni beruvchi davom ettirib yechimni topamiz:
 (x)
funksiyani toq qilib

(x)  ^
(x),
x  0;


^ (x),
x  0.

Mos ravishda qo’ydagi Koshi masalasini ko’rib chiqamiz:



  ^

^Utt
 a ² U ,
   x   ,t  0;

xx
2.4.2 _


U (0,t)  0,
U (x,0)  (x),
t  0;
   x  .

Uning yechimi bizga malum:

1

U (x, t)  _



exp{
(x  s)²
4a ²t

}(s)ds.

Aytaylik
(x,t) (R ^  R ^ )
da u(x,t)  U (x,t)
. Bu funksiya [2.4.1] ning yechimi

ekanligini ko’rsatamiz . Koshi masalasining qo’yilishiga ko’ra ,

^ u_t

xx

 a ² u ,
x  0 , t  0;

_ u(x,0)  (x),
x  0.

ekanligi malum. Chegaraviy shartni bajarilishini tekshiramiz:

1

u(0, t)  U (0, t)  _



_s 2
exp{ }(s)ds.
4a ²t

Integiral ostida juft va toq funksiyalarning ko’paytmasi turibdi , shuning uchun u nolga teng . Chegaravi shart bajarilayapdi. endi yechim uchun to’liq formulani olamiz:

1

u(x, t)  _

exp{
(x  s)²
4a ²t
}(s)ds 

1
0
 _ exp{

(x  s)²
4a ²t


1
}((s))ds  _
0

exp{
(x  s)²

4a ²t

}(s)ds 

1

  _
0


exp{
(x  s)²
4a ²t


1
}(s)ds  _
0


exp{
(x  s)²
4a ²t

}(s)ds 

1







 exp{
0 ^
(x  s)²
4a ²t


}  exp{
(x  s)²
4a ²t

}_(s)ds.


Demak,



1

u(x, t)  _
0

_exp{

(x  s)²
4a ²t
}  exp{
(x  s)²
4a ²t

}_(s)ds.

(2.4.3)

bu yarim to’g’ri chiziqda birinchi chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi.

2. Yarim to’g’ri chiziqda ikkinchi chegaraviy masala

Yarim to’gri chiziqda ikkinchi chegaraviy masala qo’ydagi ko’rinishga ega:



  ^

^utt
 a² u ,
x  0,t  0;

xx
2.4.4 _


u_x (0,t)  0,
u(x,0)   (x),
t  0;
x  0.

Yana yechimni topish uchun boshlang’ich shartni beruvchi funksiyani endi juft qilib davom ettiramiz:


(x)  ^

 (x),
 (x),
x  0;
x  0.

xx
Boshlang’ich shartni o’zgartirib , quyidagi koshi masalasini olamiz:

^ U_t

 a ² U ,
   x   , t  0;

_ U 0, t   0 ,


^ U x,0  x,
t  0;
   x  .

Xuddi shunday uning yechimi

U x, t  
 ₁





exp{
x  s²
4a ²t

}(s)ds

funksiya bo’ladi.

Aytaylik x,t  R ^  R ^  da ^{ux, t   U x, t } bo’lsin. Yana

^ u_t

xx

 a ² u ,
x  0, t  0;

_ u(x,0)  (x),
x  0.

ekanligi aniq.
Chegaraviy masalaning bajarilishini tekshiramiz: