Stoxastik barqararlik tanimlari

Moment funktsiyalari yig'indisiga nisbatan barqarorlik . Tasodifiy vektor jarayonining moment funksiyalarini, birinchi tartibli momentlarni (komponentlarning kutishlari), ikkinchi tartibli momentlarni (kvadratlarning kutilishi va komponentlarning juft mahsuloti) va boshqalarni belgidan foydalanib ko'rib chiqing.

bu yerda indekslar soni momentning tartibini bildiradi. Bu bilan biz moment funktsiyalari vektorini [122] qatoriga qadar hosil qilamiz:

Agar moment funksiyalarining (9) simmetriya xossalari ishlatilsa, uning o'lchami sezilarli darajada kamayadi. Tegishli Evklid fazosi bilan belgilanadi . Vektor normasini || bilan belgilaymiz ||, va

har biri uchun shunday topish mumkin bo'lsa , tartibni o'z ichiga olgan moment funktsiyalari yig'indisiga nisbatan yechim barqaror deb ataladi .

Eritma shu to'plamga nisbatan barqaror bo'lsa va qo'shimcha ravishda:

Keyinchalik, biz kosmosdagi barqarorlik va asimptotik barqarorlik atamalaridan foydalanamiz .
Stokastik barqarorlikning ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik . Kiritilgan ba'zi ta'riflar o'rtasida bog'liqlik mavjud. Misol uchun, agar yechim o'rtacha kvadratda barqaror bo'lsa, u ehtimollik bo'yicha barqaror (umuman teskari emas). Kosmosdagi barqarorlik mohiyatan o'rtacha barqarorlikka tengdir va kosmosdagi barqarorlik , taxminan, o'rtacha va o'rtacha kvadratdagi barqarorlik talablarining umumiyligiga mos keladi. Moment funktsiyalari to'plami uchun barqarorlik shartlarini shakllantirish vaqtning boshlang'ich momentidagi momentlar normasini matematik kutishni o'z ichiga oladi, bu ko'rib chiqishda tasodifiy boshlang'ich shartlarni o'z ichiga oladi.

2. 
   LYAPUNOV STOXASTIK FUNKSIYA Usuli
   

Usulning umumiy xususiyatlari. Lyapunov funktsiyalarining klassik usuli barqarorlik va beqarorlik uchun qat'iy etarli (ba'zan zarur va etarli) shartlarni olish uchun ishlatiladi. Usul fazali traektoriyalar bo'ylab hosilalari belgisi bo'yicha buzilmagan harakatning barqarorligini baholash mumkin bo'lgan bunday funktsiyalarni qurish g'oyasiga asoslanadi. Agar tizim stokastik bo'lsa, unda bezovtalanmagan harakatga qo'shni bo'lgan barcha amalga oshirishlar to'plamining xatti-harakatlarini o'rganish kerak [56, 142].

Lyapunovning stoxastik funktsiyalari usuli evolyutsiyasi diffuziya Markov jarayoni bo'lgan tizimlar uchun ishlab chiqilgan . XVII . Ushbu usulda ishlab chiqaruvchi muhim rol o'ynaydi funksiyalar to'plamida aniqlangan Markov jarayonining differentsial operatori jarayon va vaqtdan :

drift koeffitsientlari; diffuziya koeffitsientlari [ qarang ] (37) Ch. XVII]. Operator teskari Kolmogorov tenglamasining operatori bilan mos keladi [ qarang . (38) Ch. XVII ] shaklida ifodalansa, tasodifiy jarayonlar nazariyasiga oid adabiyotlarda hosil qiluvchi operator operator deb ham ataladi.
Ifoda funktsiyaning matematik kutilishining vaqt hosilasi ma'nosiga ega
jarayon qiymatiga ega bo'lishi sharti bilan . Shunday qilib, qiymat funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi faza fazosidagi nuqta orqali vaqt momentida o'tadigan tizimning barcha traektoriyalari to'plamida . Vazifa faza fazosining ma'lum bir mintaqasidagi belgidan stokastik barqarorlikni baholash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bunday funktsiyalarni qurishdir . Buning uchun klassik Lyapunov funktsiyalariga o'xshash funktsiyalardan foydalaning.
Yarim chiziqning ma'lum bir qo'shnisida berilgan funktsiya musbat aniq deb ataladi ( Lyapunovga ko'ra ), agar ushbu qo'shnilikda quyidagi shartlar bajarilsa.
da . _ Cheksiz kichik yuqori chegaraga ega bo'lgan funksiya (bir xilda kichik ), agar biron bir uchun mavjud bo'lsa, har qanday uchun mavjud bo'lgan funksiya chaqiriladi
Quyida yechimning barqarorligi haqidagi uchta teoremani shakllantiramiz
ishlab chiqaruvchi operator bilan uzluksiz Markov jarayonini tavsiflovchi differensial tenglamalarning stokastik tizimi [56, 112].
Ehtimollikdagi barqarorlik haqidagi teoremalar . Qo‘shnilikda operator sohasiga tegishli bo‘lgan va T sharti bo‘yicha qanoatlantiruvchi uzluksiz musbat aniq funksiya bo‘lsin , u holda yechim. ehtimollikda barqaror.
Qo‘shnida cheksiz kichik chegaraga ega bo‘lgan uzluksiz musbat aniq funksiya mavjud bo‘lsin , u operator sohasiga tegishli bo‘lib , shart ostida qanoatlantiriladi . Keyin yechim. ehtimollikda asimptotik barqaror.
Chiziqli sistemalarning asimptotik barqarorligi haqidagi teorema. Koeffitsientli ba'zi musbat aniq kvadratik shakl uchun - vaqtning uzluksiz cheklangan funktsiyalari uchun - kvadrat musbat-aniq shakl mavjud.
shartni qondirish
Keyin eritma o'rtacha kvadratda asimptotik barqaror bo'ladi .
Misol. Eng oddiy chiziqli tebranish tizimini ko'rib chiqing, uning damping koeffitsienti "shovqinliroq va " oq shovqin intensivligi :

Oq shovqin bilan qo'zg'atilgan tizim ham sifatida ifodalanishi mumkin

birlik intensivligining mustaqil normal oq shovqini;
Stokastik integralning ta'rifiga qarab c va oc koeffitsientlari turli yo'llar bilan yozilishi mumkin. Stokastik integraldan foydalanilganda Ito [28]

Agar simmetriyalangan Stratonovich stoxastik integralidan [103] foydalansak, u holda

Birinchi holda, jarayonlar Ito shovqinlari, ikkinchisida, Stratonovich shovqinlari deb ataladi.
Ikkala holatda ham diffuziya koeffitsientlari

oq shovqinni izohlab , biz diffuziya va drift koeffitsientlarini topamiz


Bu yerdan ishlab chiqarish operator (14)

Biz asimptotik barqarorlik teoremasini qo'llaymiz. Formada kvadratik shakllarni qidiramiz

(15) shartdan topilgan noaniq koeffitsientlar, ya'ni.

Shakl musbat aniq, agar va faqat bo'lsa

Bu (16) tizimning o'rtacha asimptotik barqarorligi uchun etarli shartni beradi
kvadratik [112].

3.