Stoxastik barqararlik tanimlari

MOMENT FUNKSIYASI USULI

Usul asoslari. Usul jarayonning moment funksiyalariga nisbatan deterministik differensial tenglamalarni o'rganishdan iborat. Usul stoxastik tizimlarning o'rtacha, o'rtacha kvadratda va boshqalarda barqarorligini, shuningdek, ma'lum bir tartibni o'z ichiga olgan moment funktsiyalari to'plamiga nisbatan barqarorligini o'rganish imkonini beradi. Xulq-atvori diffuziya Markov jarayoni bo'lgan tizimlarga nisbatan qo'llanilganda, bu tenglamalarni olishning ikkita asosiy usuli mavjud.
Itô formulasini qo'llash . Jarayon Itô differentsial tenglamalari (17) bilan tasvirlansin. ga nisbatan ikkinchi tartib va ga nisbatan birinchi tartibni o'z ichiga olgan uzluksiz qisman hosilalari bo'lgan funksiyani ko'rib chiqaylik . Keyin jarayonning stoxastik Itô differensialligi

Ushbu Ito formulasi matematik tahlilda murakkab funktsiyalarni farqlash formulasidan oldingi qavs ichidagi oxirgi atama bilan farq qiladi . Moment funksiyasining vaqtga nisbatan hosilasini o'z ichiga olgan tenglamani olish uchun (24) formulaga chap va o'ng qismlarni qo'yish va o'rtacha hisoblash kifoya .
Kolmogorov tenglamasini qo'llash. Kolmogorov tenglamasini yozamiz . [ (3 6) ga qarang . XVII ]:

Bu erda vektorning ehtimollik zichligi ba'zi boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradi. Moment funktsiyalari munosabat bilan ehtimollik zichligi bilan bog'liq

bu erda integratsiya butun faza maydoni bo'ylab amalga oshiriladi. ning hosilasini o'z ichiga olgan tenglamani olish uchun (25) tenglamani ga ko'paytirish va hadlar bo'yicha integrallashni bajarish kerak. O'ng tomondagi integrallar Gauss-Ostrogradskiy formulasi yordamida o'zgartiriladi, shunda o'ng tomonda jarayonning faqat moment funktsiyalari noma'lum bo'ladi. Natijada, biz moment funktsiyalari uchun kerakli tenglamalarga erishamiz.

moment funktsiyalarining nol yechimi uchun barqarorlik shartlarini aniqlashga qisqartiradi .
Misol . Chiziqli tebranish sistemasi (16) uchun moment funksiyalari usulini qo‘llasak.
Stratonovich oq shovqin holati uchun tenglamalar koeffitsientlari (17) shaklga ega

Yuqoridagi usullardan birini qo'llash orqali biz matematik taxminlar uchun tenglamalarni olamiz

(2 7) sistemaning nol yechimi asimptotik barqaror, agar

Bu holat oq shovqinning intensivligiga cheklov qo'yadi, bu 2 baravar kamroq qattiq,
o'rtacha kvadratdagi etarli barqarorlik holatidan (23).