Superconductivity, including high-temperature superconductivity

CONCLUSION

In this study we have shown that the piezoelectric inter-

action in GaAs heterostructures can play an important role in

the orientation of inhomogeneous two-dimensional elec-

tronic structures relative to the crystallographic axes of the

surrounding matrix. Using the actual form of the anisotropy

of the elastic constants in GaAs, we have found the aniso-

tropic contribution to the energy of the stripe structure real-

ized on the

͑001͒ plane.

For a single-layer system in an infinite medium the mini-

mum of the energy corresponds to orientation of the wave

vector of the stripe structure at an angle

␾

Ϸ30° to the ͓100͔

axis. However the local maximum at

␾

ϭ

␲

/4 is so flat that

all directions in the interval 30°

Ͻ

␾

Ͻ60° are actually equi-

probable, i.e., on average the wave vector is directed along

the

͓110͔ axis.

Let us analyze the influence of the surface of the sample

on the piezoelectric mechanism for orientation of the stripes

in GaAs. It has been found that in the case when the two-

dimensional electron layer is located on the surface

͑physi-

cally this corresponds to a depth of the electron layer much

smaller than the period of the electronic structure

͒ the behav-

ior of the anisotropic contribution to the energy is practically

constant in comparison with the case of an infinite medium.

For finite ratios of the depth d of the electron layer to the

period a of the stripe structure some small qualitative

changes take place. When this ratio is

Ϸ0.5 the local maxi-

mum at

␾

ϭ

␲

/4 goes over to a global minimum. At d/a

Ϸ0.15, on the other hand, the orientation along the low-

symmetry direction,

␾

Ϸ30°, is stabilized.

The results obtained here explain the experimentally ob-

served stripe orientation along the

͓110͔ direction in a quan-

tum Hall system. Since the absolute value of the anisotropy

energy is rather small

͑approximately four orders of magni-

tude smaller than the Coulomb energy

͒, an external influence

͑e.g., an external magnetic field containing a component par-

allel to the electron layer

͒ can lead to reorientation of stripe

structures, as has been observed experimentally.

We have considered the piezoelectric mechanism of

stripe orientation in two-layer electron systems

͑with layers

parallel to the

͑001͒ plane͒. In such systems the model pre-

dicts an effect wherein the stripes are reoriented along the

͓100͔ axis as the distance between layers decreases or the

period of the stripe structure increases

͑the ratio of these two

lengths must become smaller than unity

͒. The observation of

such an effect would provide experimental proof that the

piezoelectric mechanism plays the main role in the orienta-

tion of the electronic structures in two-dimensional electron

systems realized at AlGaAs–GaAs heterojunctions.

This study was supported in part by INTAS Grant No.

97-0972 and the Ukrainian Government Foundation for Ba-

sic Research, Project No. 2.4/337.

*

E-mail: fi[e-mail]

1

L. Bonsall and A. A. Maradudin, Phys. Rev. B 15, 1959

͑1977͒.

2

L. Brey, H. A. Fertig, R. Cote, and A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 75,

2562

͑1995͒.

3

M. P. Lilly, K. B. Cooper, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West,

Phys. Rev. Lett. 82, 394

͑1999͒.

4

R. R. Du, D. C. Tsui, H. L. Stormer, L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Solid

State Commun. 109, 389

͑1999͒.

5

M. M. Fogler, A. A. Koulakov, and B. I. Shklovskii, Phys. Rev. B 54,

1853

͑1996͒; A. A. Koulakov, M. M. Fogler, and B. I. Shklovskii, Phys.

Rev. Lett. 76, 499

͑1996͒.

6

R. Moessner and J. T. Chalker, Phys. Rev. B 54, 5006

͑1996͒.

7

W. Pan, R. R. Du, H. L. Stormer, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W.

Baldvin, and K. W. West, Phys. Rev. Lett. 83, 820

͑1999͒.

8

M. P. Lilly, K. B. Cooper, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West,

Phys. Rev. Lett. 83, 824

͑1999͒.

9

E

´ . I. Rashba and E. Ya. Sherman, Fiz. Tekh. Poluprovodn. 21, 1957

͑1987͒ ͓Sov. Phys. Semicond. 21, 1185 ͑1987͔͒.

Translated by Steve Torstveit

FIG. 4. Position

␾

and depth E of the minimum of the energy versus the

distance between layers. The solid curve is the position of the minimum, the

dashed curve is the depth of the minimum relative to the energy value for

␾

ϭ0, and the dotted curve is the depth of the minimum relative to the

energy for

␾

ϭ

␲

/4.

585

Low Temp. Phys. 26 (8), August 2000

D. V. Fil

Localization of nonlinear waves in layered media

I. V. Gerasimchuk

*

Kharkov National University, pl. Svobody 4, 61077 Kharkov, Ukraine

A. S. Kovalev

**

B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, National Academy of Sciences

of Ukraine, pr. Lenina 47, 61164 Kharkov, Ukraine

͑Submitted April 3, 2000͒

Fiz. Nizk. Temp. 26, 799–809

͑August 2000͒

The localization of nonlinear waves propagating in an anharmonic medium along a system of

two identical plane-parallel defects

͑waveguides͒ is investigated in a simple model

describing the nonlinear dynamics of layered media

͑magnetically ordered, elastic, and optical͒.

A method of analytical investigation of this problem is proposed which reduces to a

model of coupled anharmonic oscillators whose parameters are all determined on microscopic

considerations. The results yield an adequate description of the nonlinear dynamics of

layered media in the framework of well-studied discrete models of nonlinear mechanics. It is

shown that when the total energy of the wave exceeds a threshold value, the state with

equal energy fluxes localized near the waveguides becomes unstable, and an inhomogeneous

regime is realized in which the wave flux propagates mainly along one of the plane layers.

© 2000 American Institute of Physics.

͓S1063-777X͑00͒00808-2͔

INTRODUCTION

Research on the structure and dynamic properties of lay-

ered media of various types is now of great interest from

both the theoretical and applied standpoints. We are talking

primarily about magnetic multilayer systems, which are

promising for the creation of elements for data storage and

readout based on magnetooptical properties and the giant

magnetoresistance effect

1,2

and of layered optical media used

in fiber optics and optical delay lines.

3–6

We might also men-

tion high-T

c

superconducting compounds and their isostruc-

tural analogs, which contain layers with substantially differ-

ent conducting and elastic properties,

7,8

and quasi-two-

dimensional magnets with organic intercalation.

9

In a

number of cases these layered systems exhibit pronounced

nonlinear properties.

10–13

The simultaneous effect of the lay-

ered nature of the medium, which substantially alters the

spectrum of its linear waves and their dispersion, and the

nonlinearity of the medium can give rise to new physical

effects such as dependence of the transparency of the me-

dium on the power of the wave being transmitted,

14,15

spatial

localization of nonlinear waves in periodic structures,

10,11

and the existence of so-called gap solitons.

16,17

The goal of the present study was to investigate the

structure and character of the localization of nonlinear sta-

tionary waves propagating in an anharmonic medium con-

taining thin plane-parallel layers having different linear prop-

erties from the characteristics of the medium itself

͑planar

defects

͒. We consider the case in which the difference of the

properties of the main volume and the distinctive layers is

such that a wave can be localized near the layers even in the

linear limit, in which case the layers play the role of

waveguides. Owing to the simultaneous appearance of linear

localization at the defect layers and nonlinear localization

due to the anharmonicity of the medium around the layers, it

become possible to have a resultant localization of the wave

flux in a region containing a large number of plane layers

͑the formation of a ‘‘supersoliton’’͒. This effect has been

observed

experimentally

in

planar

nonlinear

optical

waveguides with a periodically modulated cross section.

10,11

The theoretical description of the nonlinear properties of lay-

ered structures is typically done using discrete models for the

wave amplitudes in the individual waveguides,

10,11,18

which

are described phenomenologically by difference equations

with arbitrary parameters. Under a number of simplifying

assumptions a consistent derivation of these equations has

been done in the simplest case, when the anharmonicity is

taken into account only in thin layers separated by wide re-

gions of linear medium.

14,15,19

We have considered the situ-

ation in which all of the layered medium is substantially

nonlinear and it is a nontrivial problem to find the effective

nonlinearity of the individual waveguides and their effective

interaction. This statement of the problem corresponds to a

number

of

physical

experiments

10,11

and

computer

simulations.

3,4

One considers a nonlinear medium

͑magnet, elastic crys-

tal, or optically transparent dielectric

͒ containing narrow lay-

ers in which the properties are different and which are sepa-

rated by much wider regions. In the first part we give

examples of a layered easy-axis ferromagnet with different

values of the single-ion anisotropy constant

͑this corresponds

to the discussion in Ref. 20

͒, an anharmonic elastic crystal

containing layers

͑planar defects͒ of a higher-density mate-

rial, an anharmonic optical medium with layers having a

larger

value

of

the

linear

refractive

index

͑optical

waveguides, as in Refs. 3 and 4

͒, and, finally, an optical

waveguide of variable cross section

͑see Refs. 10 and 11͒. In

all the cases listed, the propagation along the layered struc-

ture

͑along the x axis͒ of a nonlinear monochromatic wave

LOW TEMPERATURE PHYSICS

VOLUME 26, NUMBER 8

AUGUST 2000

586

1063-777X/2000/26(8)/8/$20.00

© 2000 American Institute of Physics

with an envelope that is slowly varying in space and time can

be described by the following nonlinear Schro¨dinger equa-

tion

͑NSE͒, which is standard in soliton theory:

i

ץ

u

ץ

t

ϩ

ץ

2

u

ץ

z

2

ϩ2

␴

͉u͉

2

u

ϭϪ

͚

n

␭

␦

͑zϪ2an͒u,

͑1͒

where the z axis is directed perpendicular to the defect lay-

ers; the sign function

␴

ϭϮ1 for ‘‘focusing’’ and ‘‘defocus-

ing’’ media, respectively; the planar defect is characterized

by

␭Ͼ0 in the case when the narrow layers have waveguide

properties

͑they ‘‘attract’’ linear waves͒; 2a is the distance

between the planar defect layers. Thus the problem is equiva-

lent to the study of nonlinear excitations in a one-

dimensional system containing point defects

͑nonlinear local

oscillations

͒. For a single isolated defect this problem has

been investigated in Refs. 21–23 for arbitrary signs of

␴

and

␭. In the case of several defects interacting through a non-

linear field, the solution of the problem becomes more awk-

ward, and it becomes necessary to develop efficient methods

of studying such systems. A basic step in this direction is to

study the nonlinear dynamics of a system of two parallel

defect layers

͑two point defects͒. In the theory of nonlinear

waves it is well known

24

that the basic features of soliton

dynamics are contained in the problem of two coupled an-

harmonic oscillators, in particular, the breaking of the sym-

metry of the excitation when a threshold value of its total

power is reached. In nonlinear optics this circumstance was

pointed out in Ref. 25 for a system of two coupled

waveguides. In Refs. 26 and 27, in a study of the propagation

of

nonlinear

optical

pulses

along

two

plane-parallel

waveguides, it was assumed that the waveguides and the

surrounding medium have different values of the nonlinear

refractive index.

͑The profile of the nonlinear refractive in-

dex in the direction perpendicular to the plane of the

waveguides was modeled by rectangular

26

or smoothed

bell-shaped

27

functions.

͒ However, in all of the studies listed,

the propagation of nonlinear waves was investigated using

numerical simulation methods.

For the proposed simple model

͑1͒ we have shown ana-

lytically that in the case of two plane layers

͑two defects͒ the

wave flux undergoes a transition at a critical value of its

energy to a spatially nonuniform state with different total

fluxes in adjacent layers.

1. PROPAGATION OF COHERENT WAVES IN NONLINEAR

LAYERED STRUCTURES

Let us give some examples of nonlinear layered media

whose dynamics is described by Eq.

͑1͒.

1a. An easy-axis ferromagnet (easy axis along z) consisting

of parallel layers differing in the single-ion anisotropy con-

stant. Such a magnet is described by the Landau–Lifshitz

equation

28

for the magnetization vector M

ϭ(M

x

, M

y

, M

z

):

i

ប

2

␮

0

ץ

␺

ץ

t

Ϫ

␣

M

z

⌬

␺

ϩ

␣␺

⌬M

z

ϩ

␤

͑z͒

␺

M

z

ϭ0,

͑2͒

where

⌬ is the Laplacian operator,

␮

0

is the Bohr magneton,

␺

ϭM

x

ϩiM

y

,

␣

is the exchange interaction constant, and

␤

is the single-ion anisotropy constant.

͑The alternating mag-

netic layers lie perpendicular to the z axis.

͒

Let us consider a layered structure consisting of thin

͑thickness b) layers of a magnet with magnetic anisotropy

(

␤

0

Ϫ

␤

1

), separated by thick layers

͑thickness 2aϪb) of

another magnet with anisotropy

␤

0

. It is convenient to intro-

duce the uniform ferromagnetic resonance frequency

␻

0

ϭ2

␮

0

M

0

␤

0

/

ប and the magnetic length l

0

ϭ

ͱ

␣

/

␤

0

for the

thick layers of the second magnet ( M

0

is the nominal mag-

netization of the unit cell

͒. In the case of weak modulation of

the magnetic properties (

␤

1

b

Ӷ

␤

0

a) and in the long-

wavelength approximation (l

0

ٌӶ1) for spin waves of small

amplitude (

͉

␺

͉

2

ӶM

0

2

), Eq.

͑2͒ simplifies to

i

␻

0

ץ

␺

ץ

t

Ϫl

0

2

⌬

␺

ϩ

␺

Ϫ

␤

1

͑z͒

␤

0

␺

Ϫ

1

2 M

0

2

͉

␺

͉

2

␺

ϭ0.

͑3͒

Here the weak modulation of the magnetic anisotropy is

taken into account only in the linear term. In the case of a

coherent spin wave with a fixed wave number k, propagating

along the x axis of a magnetic layered structure which

is uniform in this direction, the solution is conveniently writ-

ten in the form

␺

ϭ2M

0

u(z,t)exp

͓Ϫi(kxϪ

␻

t)

͔, where

␻

ϭ

␻

0

(1

ϩk

2

l

0

2

) is the frequency of a linear spin wave in a

homogeneous magnet with anisotropy

␤

ϵ

␤

0

, and u(z,t) is a

slowly varying function of the coordinate z and time. In the

stationary case the function u(t) takes into account the fre-

quency shift due to the nonlinearity of the wave, its possible

localization in the z direction, and the differences of the av-

eraged anisotropy in the layered medium from the value

␤

0

and may also incorporate slow nonstationary effects. If time

is measured in units of 1/

␻

0

and the coordinate in units of l

0

,

then Eq.

͑3͒ for u(z,t) becomes

Ϫi

ץ

u

ץ

t

ϩ

ץ

2

u

ץ

z

2

ϩ2͉u͉

2

u

ϭϪ

␤

1

͑z͒

␤

0

u.

͑4͒

Finally, for a large difference in the thicknesses of the

magnetic layers (a

ӷb) the right-hand side of Eq. ͑4͒ can be

replaced by a system of

␦

functions for the planar magnetic

defects:

Ϫ

␤

1

͑z͒

␤

0

u

ϷϪ

͚

n

␭

␦

͑zϪ2an͒u

͑5͒

with

␭ϭb

␤

1

/

␤

0

.

1b. A nonlinear elastic medium containing plane-parallel de-

fects perpendicular to the z axis.

͑For simplicity below we

assume that the defect layers differ from the main matrix

only in the mass of the atoms.

͒ For purely shear waves

propagating in a cubic crystal along the layers

͑along the x

axis

͒ and uniform in the direction of the y axis, through a

suitable choice of scales for the time, coordinate, and wave

amplitude the equation of the dynamics for the displace-

ments u(x,z,t) can be put in dimensionless form:

29

587

Low Temp. Phys. 26 (8), August 2000

I. V. Gerasimchuk and A. S. Kovalev

␳

͑z͒

ץ

2

u

ץ

t

2

Ϫ

ץ

2

u

ץ

x

2

Ϫ

ץ

2

u

ץ

z

2

ϩ

␴

ͭ

3

ͩ

ץ

u

ץ

x

ͪ

2

ץ

2

u

ץ

x

2

ϩ3

ͩ

ץ

u

ץ

z

ͪ

2

ץ

2

u

ץ

z

2

ϩ

␯

ץ

ץ

z

ͫͩ

ץ

u

dx

ͪ

2

ץ

u

ץ

z

ͬ

ϩ

␯

ץ

ץ

x

ͫͩ

ץ

u

ץ

z

ͪ

2

ץ

u

ץ

x

ͬ

ͮ

Ϫ

␬

ͫ

ץ

4

u

ץ

x

4

ϩ

ץ

4

u

ץ

z

4

ϩ

␮

ץ

2

ץ

z

2

ͩ

ץ

2

u

ץ

x

2

ͪ

ͬ

ϭ0,

͑6͒

where

␴

is the sign function, equal to 1 for ‘‘focusing’’ and

to

Ϫ1 for ‘‘defocusing’’ media,

␯

and

␬

are dimensionless

parameters which are of the order of unity and depend on the

ratios of the nonlinear and linear elastic constants, respec-

tively, and the function

␳

(z)

ϭ1 for the main matrix and

␳

(z)

ϭM/m in the defect layers (M and m are the masses of

the defect and host atoms, respectively

͒.

In a focusing medium (

␴

ϭ1) with normal dispersion

(

␬

Ͼ0) the nonlinear waves are modulationally stable in

their direction of propagation,

29

and it is therefore natural to

consider stationary waves propagating along the layers and

having an amplitude which depends weakly on time and on

the coordinate in the direction perpendicular to the layers. In

the resonance approximation such a solution in the case of a

fixed wave vector

␬

of the carrier wave can be written in the

form

u

ϷA͑z,t͒cos͑kxϪ

␻

t

͒ϪB͑z,t͒sin͑kxϪ

␻

t

͒,

͑7͒

where A and B are slowly varying functions of their argu-

ments,

␻

2

ϭk

2

Ϫ

␬

k

4

, which corresponds to the dispersion

relation for linear waves in the ideal lattice

͑in the chosen

variables the sound velocity is equal to unity

͒. Substituting

expression

͑7͒ into Eq. ͑6͒ and retaining in it only the first

derivatives

ץ

ϭA/

ץ

t,

ץ

B/

ץ

t with respect to the ‘‘slow’’ time

and the second derivatives with respect to the ‘‘slow’’ coor-

dinate z and introducing the complex function U

ϭAϩiB,

we can easily write Eq.

͑6͒ in the approximate form

2i

␻

ץ

U

ץ

t

ϩ͑1Ϫ

␬␮

k

2

͒

ץ

2

U

ץ

z

2

ϩ

3

4

␴

k

4

͉U͉

2

U

ϭϪ

ͩ

M

m

Ϫ1

ͪ

␻

2

b

͚

n

␦

͑zϪ2an͒U,

͑8͒

where b is the thickness of the defect layers and 2a is the

distance between them. In the derivation of Eq.

͑8͒ we have

taken into account the relation

ץ

U/

ץ

t

Ӷ

␻

U and have

dropped the terms 2i

␻

( M /m

Ϫ1)(

ץ

U/

ץ

t)

␦

(z). Measuring

the time in units of 2/

␻

and the coordinate z in units of

ͱ

1

Ϫ

␬␮

k

2

/k, and introducing the new displacements W

ϭkU

ͱ

3/(2

ͱ

2), we rewrite Eq.

͑8͒ in an manner analogous

to

͑4͒ and ͑5͒:

i

ץ

W

ץ

t

ϩ

ץ

2

W

ץ

z

2

ϩ2

␴

͉W͉

2

W

ϭϪ

͚

n

␭

␦

͑zϪ2an͒W,

͑9͒

where

␭ϭ͓(M/m)Ϫ1͔b.

1c. A nonlinear optical medium containing plane-parallel

waveguides, i.e., layers characterized by a larger refractive

index than the optical medium between them.

͑As above, we

assume that the layers lie perpendicular to the z axis.

͒ In the

case of a plane-polarized wave propagating in a nonmagnetic

medium (

␮

ϭ1) along the layers ͑in the x direction͒, with no

dependence on the coordinate y and with its electric field

vector E directed along the y axis (E

ʈi

y

), Maxwell’s equa-

tions take the form

n

2

͑z,E͒

ץ

2