Superconductivity, including high-temperature superconductivity

25, 364

͑1991͔͒.

11

P. M. Koenraad, A. C. L. Heessels, F. A. P. Blom, J. A. A. J. Pekenboom,

and J. H. Wolter, Physica B 184, 221

͑1993͒.

12

I. A. Panaev, S. A. Studenikin, D. I. Lubyshev, and V. P. Migal’, Semi-

cond. Sci. Technol. 8, 1822

͑1993͒.

13

Yu. F. Komnik, V. V. Andrievski

Ž, I. B. Berkutov, S. S. Kryachko,

M. Myronov, and T. E. Whall, Fiz. Nizk. Temp. 26, 829

͑2000͒ ͓Low

Temp. Phys. 26, 609

͑2000͔͒.

14

P. W. Anderson, E. Abrahams, and T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett.

42, 673

͑1979͒.

15

B. L. Altshuler, D. E. Khmel’nitski

Ž, A. I. Larkin, and P. A. Lee, Phys.

Rev. B 22, 5142

͑1980͒.

16

B. L. Al’tshuler, A. G. Aronov, A. I. Larkin, and D. E. Khmel’nitski

Ž, Zh.

E

´ ksp. Teor Fiz. 81, 768 ͑1981͒ ͓Sov. Phys. JETP 54, 411 ͑1981͔͒.

17

B. L. Altshuler, A. G. Aronov, M. E. Gershenzon, and Yu. V. Sharvin,

Sov. Sci. Rev., Sect. A

͑Harwood Acad. Publ., Schur, Switzerland͒ 9, 223

͑1987͒.

18

B. L. Altshuler, A. G. Aronov, and D. E. Khmel’nitski

Ž, J. Phys. C 15,

7367

͑1982͒.

19

V. Yu. Kashirin, Yu. F. Komnik, O. A. Mironov, C. J. Emeleus, and T. E.

Whall, Fiz. Nizk. Temp. 22, 1174

͑1996͒ ͓Low Temp. Phys. 22, 897

͑1996͔͒.

Translated by Steve Torstveit

602

Low Temp. Phys. 26 (8), August 2000

Krasovitsky

et al.

Influence of dislocations on the magnetic structure of two-dimensional anisotropic

antiferromagnets

O. K. Dudko

*

and A. S. Kovalev

B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, National Academy of Sciences

of Ukraine, pr. Lenina 47, 61164 Kharkov, Ukraine

͑Submitted April 24, 2000͒

Fiz. Nizk. Temp. 26, 821–828

͑August 2000͒

For an easy-plane antiferromagnet having anisotropy in the easy plane and containing an edge

dislocation, a two-dimensional model is formulated which generalizes the Peierls model

to the case of coupled fields of magnetization and elastic displacements. The proposed model is

used to obtain a system of one-dimensional nonlinear integrodifferential equations for the

two coupled fields. In the case of ideal crystal structure of the antiferromagnet this system of

equations has a solution for a domain wall containing a Bloch line, the structure into

which the magnetic vortex is transformed when the single-ion anisotropy is taken into account.

In the presence of a dislocation a complex magnetostructural topological defect arises in

the form of a 180° domain wall terminating on the dislocation. © 2000 American Institute of

Physics.

͓S1063-777X͑00͒01108-7͔

INTRODUCTION

The synthesis of new quasi-two-dimensional and two-

dimensional

͑2D͒ layered magnets has aroused both theoret-

ical and experimental interest in the study of the dynamics

and structure of topological excitations

͑magnetic vortices

and disclinations

͒ in magnetically ordered media.

1–8

The

low-temperature phase transition to a magnetically ordered

state in 2D easy-plane magnetic systems is accompanied by

the formation of a large number of magnetic vortices. When

the anisotropy in the easy plane is taken into account, these

vortices are transformed into domain walls containing Bloch

lines. It is also known that in 2D systems it is easier to form

structural topological defects — the two-dimensional ana-

logs of dislocations. These circumstances point to the neces-

sity of studying the influence of magnetic and structural to-

pological excitations on one another. The situation is

particularly interesting in the case of an antiferromagnet

͑AFM͒. First, the majority of 2D magnets are Heisenberg

AFMs with single-ion easy-plane anisotropy and weak an-

isotropy in the easy plane.

7

Second, unlike ferromagnets,

AFMs have, in addition to the usual weak magnetoelastic

interaction, a strong magnetoelastic interaction of a topologi-

cal nature which requires an essentially nonlinear treatment.

As was first shown qualitatively in Refs. 9 and 10, this to-

pological interaction in AFMs leads to coupling of disloca-

tions and magnetic disclinations or domain walls. When the

uniaxial anisotropy in the easy plane is taken into account,

the domain wall should terminate on a dislocation, and this

can lead to a change in the density of dislocations at the Ne´el

phase transition point and, consequently, exert an influence

on the elastic and plastic properties of 2D AFMs.

The problem of constructing an analytical description of

a complex 2D topological magnetoelastic defect is compli-

cated even in the framework of a 1D model. A generalization

of the 1D Frenkel–Kontorova model to the case of two

coupled fields in such a defect was proposed in Ref. 11. The

model of Ref. 11 permitted investigation of such a defect,

but in view of its one-dimensional character it led to incor-

rect asymptotic behavior of the fields at large distances from

the center of the defect. In Ref. 12 a 2D model was proposed

which generalized the well-known Peierls model to the case

of coupled fields and which is also a generalization of the

model used in Ref. 11. Without taking into account the an-

isotropy in the easy plane, this model described an isolated

magnetic vortex and also a complex magnetostructural topo-

logical defect, constituting a magnetic disclination coupled

with a dislocation. In the present paper we upgrade the

model proposed in Ref. 12 by incorporating additional easy-

axis anisotropy in the easy plane of an AFM. The model

developed here describes both a domain wall containing a

Bloch line in an ideal AFM and a domain wall terminating

on an edge dislocation in an AFM.

CONSTRUCTION OF THE MODEL

Consider the case of an edge dislocation in a two-

sublattice easy-plane AFM with strong easy-plane anisotropy

and an additional weak anisotropy in the easy plane with a

checkerboard ordering of the spins. The ideal ordering of the

spins in such a system cannot be realized, since there will

always be a line that terminates on the dislocation and along

which the orientation of neighboring spins is ferromagnetic,

i.e., unfavorable. In the case of an easy-plane AFM with an

isotropic easy plane this frustration is overcome by the for-

mation of a magnetic disclination associated with the dislo-

cation, in which the total rotation of the antiferromagnetism

vector on a turn around the center of the dislocation is equal

to

␲

.

12

When even a weak easy-axis anisotropy in the easy

plane is taken into account, the magnetic disclination is

transformed into a 180° domain wall, which compensates the

rotation of the spins by the angle

␲

. The distribution of the

magnetization in an easy plane (x,z) containing a dislocation

at the point x

ϭzϭ0 and possessing easy-axis anisotropy

along the x axis in the easy plane is shown in Fig. 1

͑the

domain wall lies along the line z

ϭ0, xϾ0). We note that in

LOW TEMPERATURE PHYSICS

VOLUME 26, NUMBER 8

AUGUST 2000

603

1063-777X/2000/26(8)/6/$20.00

© 2000 American Institute of Physics

Ref. 9 a somewhat different situation was considered, where

the AFM had fourfold symmetry in the easy plane. In that

case two 90° domain walls terminated on the dislocation.

Unfortunately, the analytical solution of the problem of the

distribution of the magnetization around a topological defect

͑Bloch line͒, even in an ideal AFM without a dislocation, is

a complicated mathematical problem,

13

and it is impossible

to write an exact solution in analytical form. The situation is

even more complicated in an AFM containing structural de-

fects

͑2D dislocations͒. In order to have the possibility of

constructing an analytical description of topological defects

in this case we limit the description to a model AFM with

strong anisotropy of the elastic and magnetic properties in

different directions:

␣

ӷ

␤

(

␣

and

␤

are the constants of the

elastic interaction along the x and z directions, respectively

͒,

J

1

ӷJ

2

(J

1

and J

2

are the exchange interaction constants

along these directions

͒. Since the domain wall energy is

given by the expression E

DW

ϭ

ͱ

␥

J, where

␥

is the param-

eter of the weak anisotropy in the easy plane and J is the

exchange integral in the direction perpendicular to the plane

of the domain wall, in the case of the indicated spatial an-

isotropy of the magnetic properties the minimum-energy

configuration corresponds to a domain wall oriented along

the x direction.

1

͒

Let us label the atoms of the lattice by two indices: n

͑the x coordinate͒ and m ͑the z coordinate͒. For describing

the elastic subsystem we restrict consideration to a scalar

model and denote by u

n,m

the displacement of the nm-th

atom relative to the equilibrium position and by

␸

n,m

the

deviation of the spin of the nm-th atom from the easy (x)

axis in the (x,z) plane. Numerical calculations have shown

that when the easy-plane anisotropy exceeds a certain critical

value, all the spins in the nonuniform states lie in the easy

plane and can be characterized by a single scalar quantity

␸

n,m

͑Ref. 14͒. The energy of the elastic subsystem is written

in the form

E

el

ϭ

͚

nm

ͭ

␣

2

͑u

n,m

Ϫu

n

Ϫ1,m

͒

2

ϩ

␤

a

2

4

␲

2

ͫ

1

Ϫcos

2

␲

a

͑u

n,m

Ϫu

n,m

Ϫ1

͒

ͬ

ͮ

,

͑1͒

where a is the lattice parameter along the x direction. The

nonlinearity of the second term lets one take into account the

displacements at the core of the dislocation, which are com-

parable to the lattice parameters. The density of the magnetic

subsystem has the form

E

magn

ϭ

͚

nm

ͫ

J

1

cos

͑

␸

n,m

Ϫ

␸

n

Ϫ1,m

͒ϩJ

2

cos

͑

␸

n,m

Ϫ

␸

n,m

Ϫ1

͒

ϫcos

␲

a

͑u

n,m

Ϫu

n,m

Ϫ1

͒Ϫ

␥

2

cos

2

␸

n,m

ͬ

.

͑2͒

The presence of an extra atomic chain

͑see Fig. 1͒ in the

half space above the slip line of the dislocation (z

ϭ0) leads

to the situation that, for a fixed ideal spin orientation, the

spins of neighboring chains adjacent to the slip line are fer-

romagnetically

͑unfavorably͒ ordered. The second term in

expression

͑2͒ takes this circumstance into account and thus

describes the topological interaction of the magnetic and

elastic subsystems.

11

To take into account the checkerboard

AFM ordering it is convenient to change from the functions

␸

n,m

to the new functions

␺

n,m

ϭ

␸

n,m

for n

ϩmϭ2s and

␺

n,m

ϭ

␸

n,m

ϩ

␲

for n

ϩmϭ2sϩ1 (s is an integer͒. In terms

of the new variables

␺

n,m

expressions

͑1͒ and ͑2͒ imply the

following form of the static equations for the atomic dis-

placements u

n,m

and the spin deviations

␺

n,m

:

␣

͑2u

n,m

Ϫu

n

Ϫ1,m

Ϫu

n

ϩ1,m

͒ϩ

␤

a

2

␲

ͫ

sin

2

␲

͑u

n,m

Ϫu

n,m

ϩ1

͒

a

ϩsin

2

␲

͑u

n,m

Ϫu

n,m

Ϫ1

͒

a

ͬ

ϩ

␲

a

J

2

ͫ

cos

͑

␺

n,m

Ϫ

␺

n,m

Ϫ1

͒

ϫsin

␲

͑u

n,m

Ϫu

n,m

Ϫ1

͒

a

Ϫcos͑

␺

n,m

ϩ1

Ϫ

␺

n,m

͒

ϫsin

␲

͑u

n,m

ϩ1

Ϫu

n,m

͒

a

ͬ

ϭ0,

͑3͒

J

1

͓sin͑

␺

n,m

Ϫ

␺

n

Ϫ1,m

͒ϩsin͑

␺

n,m

Ϫ

␺

n

ϩ1m

͔͒

ϩJ

2

ͫ

sin

͑

␺

n,m

Ϫ

␺

n,m

Ϫ1

͒cos

␲

͑u

n,m

Ϫu

n,m

Ϫ1

͒

a

ϩsin͑

␺

n,m

Ϫ

␺

n,m

ϩ1

͒cos

␲

͑u

n,m

ϩ1

Ϫu

n,m

͒

a

ͬ

ϩ

␥

2

sin 2

␺

n,m

ϭ0.

Taking the topological magnetoelastic interaction into ac-

count has led to coupling of the equations for the elastic and

magnetic subsystems

͑we have not taken into account the

usual weak magnetoelastic interaction of the form

␭(u

n,m

Ϫu

n

Ј

,m

Ј

)cos(

␸

n,m

Ϫ

␸

n

Ј

,m

Ј

)).

The slip line of the dislocation

͑the line zϭ0) divides

the (x,z) plane into two half spaces, in which the relative

displacements of neighboring atoms and the relative devia-

tions of neighboring spins are small, and therefore in these

half spaces one can use a long-wavelength description in the

framework of equations for u(x,z) and

␺

(x,z):

␣

a

2

ץ

2

u

ץ

x

2

ϩ

␤

˜ b

2

ץ

2

u

ץ

z

2

ϭ0,

͑4a͒

FIG. 1. Distribution of the magnetization in an easy-plane AFM with a

checkerboard ordering of the spins in the presence of a domain wall termi-

nating on an edge dislocation.

604

Low Temp. Phys. 26 (8), August 2000

O. K. Dudko and A. S. Kovalev

J

1

a

2

ץ

2

␺

ץ

x

2

ϩJ

2

b

2

ץ

2

␺

ץ

z

2

Ϫ

␥

2

sin 2

␺

ϭ0,

͑4b͒

where b is the lattice constant in the z direction, and

␤

˜

ϭ

␤

ϩ

␲

2

J

2

/a

2

Ϸ

␤

is the elastic coupling constant renormalized

with allowance for the magnetoelastic interaction. This

renormalization leads to a small change in the size of the

dislocation core

͑with an order of smallness equal to the ratio

of the magnetic interaction to the elastic

͒.

It is seen from equations

͑4͒ that inside the two half

spaces (z

Ͼ0 and zϽ0) the fields of the elastic displace-

ments u(x,z) and spin deviations

␺

(x,z) are independent,

and the coupling of these two fields occurs only in the dis-

location core and in the domain wall x

Ͼ0, zϭ0. In the re-

gion of the dislocation core the relative atomic displacements

in the atomic rows adjacent to the boundary of the half

spaces, u

ϩ

ϭu(zϭϩb/2) and u

Ϫ

ϭu(zϭϪb/2), can differ

by a quantity of the order of interatomic distance a, and the

relative spin deviations

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

near the domain wall can be

of the order of

␲

. Therefore the interaction across the bound-

ary must be taken into account exactly:

E

s

ϭ

␤

a

2

4

␲

2

ͫ

1

Ϫcos

2

␲

a

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

ͬ

ϪJ

2

cos

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

͒cos

␲

a

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒.

͑5͒

Here the solution of the bulk problem

͑4a͒, ͑4b͒ ͑e.g., for the

upper half space z

Ͼ0) is supplemented at the boundary be-

tween the two half spaces by the following boundary condi-

tions:

␤

a

␲

sin

2

␲

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

a

ϩ

2

␲

J

2

a

cos

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

͒sin

␲

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

a

ϭϪ

␤

˜ b

2

ץ

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

ץ

z

,

͑6a͒

2J

2

sin

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

͒cos

␲

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

a

ϭϪJ

2

b

2

ץ

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

͒

ץ

z

.

͑6b͒

Since the elastic interaction is much greater than the mag-

netic, the second term on the left-hand side of

͑6a͒ can be

dropped, and the constant

␤

˜ can be replaced by

␤

.

In the absence of anisotropy in the easy plane (

␥

ϭ0)

equations

͑4͒, which then become linear, can be solved, and

one can easily find the relation between the derivatives

ץ

u

Ϯ

/

ץ

z and

ץ

␺

Ϯ

/

ץ

z in

͑6a͒ and ͑6b͒ with the quantities

ץ

u

Ϯ

/

ץ

x and

ץ

␺

Ϯ

/

ץ

x at the boundary. Then the boundary

conditions

͑6͒ are converted to a closed system of one-

dimensional integrodifferential equations for the functions

u

Ϯ

(x) and

␺

Ϯ

(x).

12

In our case this approach is impossible because of the

nonlinearity of Eq.

͑4b͒. Therefore, for a qualitative solution

we use a piecewise-linear approximation for the single-ion

anisotropy energy in the easy plane, replacing the term

Ϫ(1/2)

␥

cos

2

␸

n,m

in

͑2͒ by

␥␸

n,m

2

/2. This replacement is jus-

tified by the fact that in the case of a domain wall terminat-

ing on a dislocation or a domain wall containing a Bloch

line, the functions

͉

␺

Ϯ

͉ are strictly less than

␲

/2. Indeed, it is

seen in Figs. 1 and 2 that in the first case we have

Ϫ

␲

/2

ϩ␧Ͻ

␺

ϩ

Ͻ0,

and in the second case

Ϫ

␲

/2

ϩ␧Ͻ

␺

ϩ

Ͻ

␲

/2

Ϫ␧.

The value of

␧ is easily found from the solution of equation

͑4b͒ for a uniform domain wall:

␺

ϭ2 arctan exp

ͫ

Ϫ

z

b

ͩ

␥

J

2

ͪ

1/2

ͬ

.

͑7͒

Taking this solution at z

ϭb/2 and using the inequality

␥

ӶJ

2

, we find that

␧ϭ

1

2

ͱ

␥

/J

2

. For the piecewise-linear

approximation of equation

͑4b͒ we have

J

1

a

2

ץ

2

␺

ץ

x

2

ϩJ

2

b

2

ץ

2

␺

ץ

z

2

Ϫ

␥␺

ϭ0, zϾ0,

͑8͒

and the solution for the uniform domain wall

͑7͒ simplifies to

␺

͑zϾ0͒ϭ

␲

2

exp

ͫ

Ϫ

z

b

ͩ

␥

J

2

ͪ

1/2

ͬ

.

͑9͒

In the proposed approach for the linear equations

͑4a͒ and ͑8͒

we can use the well-known Green functions and express the

solutions u(x,z) and

␺

(x,z) in terms of the effective forces

acting on the boundaries z

ϭϮb of the half spaces:

f

ϩ

ϭϪ

␤

a

2

␲

sin

2

␲

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

a

Ϫ

␲

a

J

2

cos

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

͒sin

␲

͑u

ϩ

Ϫu͒

a

,

͑10͒

f˜

ϩ

ϭϪJ

2

sin

͑

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

͒cos

␲

͑u

ϩ

Ϫu

Ϫ

͒

a

.

͑It should be kept in mind that the bulk forces which were

used in finding the solutions for y and

␺

in the half spaces

have

the

form

f (x,z)

ϭb

␦

(z)2 f

Ϯ

(x)

and

f˜(x,z)

ϭb

␦

(z)2 f˜

Ϯ

(x).

͒

FIG. 2. Distribution of the magnetization in an AFM in the presence of: 1

͒

a domain wall in the x direction, containing a vortex

͑the shaded region͒

with a Bloch point, and 2

͒ a domain wall along the z axis.

605

Low Temp. Phys. 26 (8), August 2000

O. K. Dudko and A. S. Kovalev

Introducing the relative displacements of the atoms at

the boundaries of the half spaces, w

ϭ

␲

(u

ϩ

Ϫu

Ϫ

)/a, and the

relative rotations of the spins at these boundaries,

␹

ϭ

␺

ϩ

Ϫ

␺

Ϫ

, and using the Green functions for the Laplace and

Klein–Gordon equations, we obtain integral expressions for

the fields in the half spaces:

u

͑x,zѥ0͒ϭϯ

1

2

␲

2

l

͵

Ϫϱ

ϩϱ

ln

ͫ

͑xϪx

Ј

͒

2

␣

a

2

ϩ

z

2

␤

˜ b

2

ͬ

1/2

ϫsin w͑x

Ј

͒dx

Ј

,

͑11͒

␺

͑x,zѥ0͒ϭϯ

1

␲

l˜

͵

Ϫϱ

ϩϱ

K

0

ͩͩ

͑xϪx

Ј

͒

2

␭

2

ϩ

z

2

␴

2

ͪ

1/2

ͪ

ϫcos w sin

␹

dx

Ј

.

͑12͒

where K

0

(k) is the Macdonald function and we have intro-

duced the parameters l

ϭa

ͱ

␣

/

␤

, l˜

ϭa

ͱ

J

1

/J

2

,

␴

ϭb

ͱ

J

2

/

␥

,

and

␭ϭa

ͱ

J

1

/

␥

. These last two parameters describe the

‘‘magnetic lengths’’ in the z and x directions, respectively.