Suyuqliklar dinamikasi. Bernulli tenglamasi

2. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.
Eyler va Nave-Stoks tenglamalar sistemalarini Еchish yo’li bilan suyuqlik harakatlanayotgan fazoning har bir nuqtasidagi tezlik va bosimni topish mumkin. Lekin bu sistemalarni Еchish katta qiyinchiliklar bilan amalga oshiriladi, ko’p hollarda esa xatto Еchish mumkin emas. Shuning uchun o’rtacha tezlikni topish bilan cheklanishga to’g’ri keladi. Buning uchun, odatda, Bernulli tenglamasidan foydalaniladi. Bernulli tenglamasini ikki xil usul bilan topish mumkin.
Birinchi usul Eyler tenglamasidan foydalanish yo’li bilan amalga oshiriladi. Buning uchun (4.7) sistemaning birinchi tenglamasini dx ga, ikkinchi tenglamasini dy ga, uchinchi tenglamasini dz ga ko’paytiramiz va hosil bo’lgan uchta tenglamani qo’shamiz. Natijada quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:


(5)

(4.10) munosabatdan ko’rinib turibdiki,

Shu munosabatdan foydalanib (5.5) tenglamaning chap tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

(6)

lekin

Bo’lgani uchun (5.5) tenglama chap tomonining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

(7)

(5.3) tenglamaning o’ng tomonidagi biror kuch potensialining to’liq differensialidir. Agar shu potensialni bilan belgilasak, u holda quyidagiga ega bo’lamiz

(8)

Odatda, suyuqlikka ta‘sir qiluvchi massa kuch og’irlik kuchidir. U holda dekart koordinatalar sistemasi quyidagicha bo’ladi:

(9)

(5.5) tenglamaning o’ng tomonida yana bosim bilan ifodalanuvchi munosabat bo’lib, u bosimning to’liq differensialini ifodalaydi, ya‘ni

(10)

(5.7), (5.8), (5.9), va (5.10) larni (5.5) ga qo’ysak, u quyidagi ko’rinishga keladi:

Hosil bo’lgan tenglamani elementar oqimchaning 1-1 kesimidan (4.1-rasmga q.) 2-2 kesimigacha integrallasak, quyidagi ko’rinishga keladi:

(11)

Bu tenglamadagi har bir had massa birligiga keltirilgan. Agar uni kuch birligiga keltirsak, ya‘ni g ga ikki tomonini bo’lib yuborsak, u holda ni hisobga olib, quyidagini olamiz:

(12)

Oxirgi tenglama 1738 yilda Bernulli tomonidan olingan bo’lib, uning nomi bilan ataladi va gidravlika, suyuqlik va gazlar dinamikasi fanlarida harakatning asosiy tenglamasi bo’lib xizmat qiladi. Bernulli tenglamasini quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin:

(13)

Ko’rinib turibdiki, Bernulli tenglamasida asosan kattaliklarning yig’indisi o’zgarmas ekan.

D. Bernullining o’zi yuqoridagi tenglamani energiyaning o’zgarish qonunidan keltirib chiqargan bo’lib, biz keltirgan usul esa Eyler tomonidan qo’llanilgan.