Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн

 

 


_ nx

(x)


n1
A_n sin _l ;

^{ nx }  ^{ant ant} 
u_t (x, 0)  (x)  (x)  _sin _l  _{t } A_n cos _l  B_n sin _{l } 

n1



 (x)  _B_n
n1
^{ } t 0
an _sin nx_.

l l

Полученные ряды (21)−(22) являются рядами Фурье − разложениями в ряды по сину-

сам на интервале (0; l)
известным формулам:
для функций
(x) и (x),
коэффициенты которых вычисляются по

2 ^l nx l 2 ^l nx

A_n  _{l }(x)sin _l dx, B_n  _a  _(x)sin
dx.
(20)

₀ n l ₀ l
Подставив A_n, B_n в (19), получим решение поставленной задачи.

Для однородного волнового уравнения метод разделения переменных применим к на- чально-краевым задачам с однородными краевыми условиями любого рода и в любых соче- таниях. Метод допускает обобщения на двумерные однородные волновые уравнения, описы- вающие поперечные колебания как прямоугольной, так и круглой плоской мембраны (см. Тихонов-Самарский, гл. V §3 п. 2,3).

Рассмотренные задачи Штурма-Лиувилля являются частными случаями более общей задачи Штурма-Лиувилля об отыскании собственных чисел и функций, являющихся реше- ниями линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, содержащего параметр, с пе- ременными коэффициентами и удовлетворяющих однородным граничным условиям. Собст- венные функции обладают свойствами, опираясь на которые можно доказать сходимость и дифференцируемость построенных рядов (см. сб. задач, Петр-ск, гл.V §3).

5. Краевые задачи для волнового уравнения с неоднородностями

Рассмотрим процесс вынужденных колебаний струны конечной длины, концы кото- рой перемещаются по заданным законам, и известны начальные смещения и скорости точек струны. Математическая модель этого процесса является первой краевой задачей для волно- вого уравнения):

u  a²u  f (x,t) для 0  x  l, t  0,
(21)

tt xx
u(x,0)  (x), u_t (x,0)  (x) для 0  x  l,
u(0,t)  ₁(t), u(l,t)  ₂ (t) для t  0.
(22)
(23)

Здесь:
u(x,t) − отклонения точек струны от оси Ох,
f (x,t)
− внешнее воздействие,

(x), (x) − начальные отклонения и скорости точек струны, щений концов струны.
₁(t), ₂ (t) − законы переме-

Для решения этой задачи применим принцип редукции, состоящий в переходе от по-
ставленной задачи (21)−(23) к совокупности более простых задач.
Сначала представим функцию u(x,t) в виде суммы двух функций:

u(x,t)  s(x,t)  v(x,t),
(24)

где s(x,t) − функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям при любых значени-

ях t>0. Задачу для определения v(x,t)
составим после выбора функции
s(x,t) .

_у Один из вариантов задания s(x,t) − это линейное относи-
тельно х уравнение прямой, проходящей через заданные

точки
A(0, ₁(t)),
B(l, ₂ (t)) (t − параметр) плоскости Оху

(см. рис. 1), имеющее вид:
^x s(x,t)   (t)  ^{2 (t)  1 (t)}  x.
(25)

1 _l
Подставим u(x,t) в виде (24) в задачу (21)−(23):

^v  s
 a² (v
 s )  f (x,t),
^v  a²v
 f (x,t),

_ tt tt xx xx _ tt xx

_v(x, 0)  s(x, 0)  (x), v_t (x, 0)  s_t (x, 0)  (x),  _v(x, 0)  (x), v_t (x, 0)  (x),
(26)

^v(0,t)  s(0,t)   (t), v(l, t)  s(l, t)  
(t),
^v(0,t)  0, v(l,t)  0,

_ 1 2 _

где
f (x,t) 
f (x,t)  s_tt , так как s_xx  0;
(x)  (x)  s(x,0), (x)  (x)  s_t (x,0).

С помощью редукции неоднородные граничные условия преобразовались в однород- ные. Само уравнение и начальные условия также изменились, но не принципиально.
Краевая задача (26) содержит неоднородное уравнение с начальными условиями и од- нородные граничные условия. Для ее решения можно использовать:

1. 
   принцип редукции в сочетании с принципом Дюамеля;
   
2. 
   метод представления решения в виде ряда, который еще называют методом Фу- рье для неоднородных уравнений.
   

1. 
   Принцип редукции. Повторно применим редукцию, представив функцию v(x,t) в
   

виде суммы
v(x,t)  z(x,t)  w(x,t),
где
z(x,t) − решение соответствующего однородного

уравнения с начальными условиями задачи (26) и нулевыми граничными условиями, w(x,t) − решение неоднородного уравнения задачи (26) с нулевыми начальными и гранич- ными условиями:

^z  a²z ,
^w  a²w
 f (x,t),

_ tt xx _ tt xx

_z(x, 0)  (x), z_t (x, 0)  (x),


^z(0,t)  0, z(l,t)  0;
(27)
_w(x, 0)  0, w_t (x, 0)  0,


^w(0,t)  0, w(l,t)  0.
(28)

Легко убедиться непосредственным сложением уравнений, начальных и граничных условий в том, что сумма решений задач (27) и (28) является решением задачи (26).
Задача (27) является 1-ой краевой задачей для однородного волнового уравнения с однородными граничными условиями и решена выше для произвольных начальных условий методом разделения переменных − методом Фурье.
Задача (28) − это 1-я краевая задача для неоднородного волнового уравнения с нуле- выми начальными и граничными условиями, которую можно решить с помощью принципа Дюамеля аналогично задаче Коши для неоднородного волнового уравнения.
Решение задачи (27) имеет вид (см. формулы (19), (20)):
^ nx _ ant ant _
z(x,t)  _sin _{l } A_n cos _l  B_n sin _{l },
n1 ^{ }

2 ^l nx l 2 ^l
nx
(29)

A_n  _{l }(x)sin _l dx, B_n  _a  _(x)sin
dx.

₀ n l ₀ l

К задаче (28) применим принцип Дюамеля и запишем
t
w(x,t)  _ g(x,t; )d,
0
w(x,t) в виде интеграла
(30)

где функция
g(x,t; ) является решением однородного волнового уравнения с нулевыми

граничными условиями и начальными условиями, заданными в момент времени t   :

 a g

^g
2
tt xx



,    x  , t  ,

_g(x, ; )  0, g_t (x, ; ) 


_^g(0,t)  0, g(l,t)  0.
Можно показать, что задача (31) имеет решение:
f (x, ),
(31)

^ nx an(t  )
l 2 ^l
nx

g(x,t; )  _b_n sin _l
sin

l

, где b_n  _a  _ f (x, )sin
dx.
(32)

n1
n l ₀ l

Коэффициенты a_n  0, так как начальные смещения равны нулю.

Вернемся к функции
w(x,t)
и получим:

t t _
nx an(t  ) ^

l
w(x,t)  _ g(x,t; )d  _b_n sin
_{0 0} n1
l
sin
d ,_
l _



(33)

b  ^l  ² f (, )sin ^n d, ^


0


ⁿ an l ^ l ^

t l _{ 2}
an(t  )
n nx

или
w(x,t)  _ f (, )sin

an

l
_{0 0} n1
sin