Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн

ния. Формула (3) является частным случаем формулы (10) при
Пример 1. Решить задачу Коши:
f (x,t)  0.

u_tt  4u_xx  sin t,
t  0,   x  ,
u(x,0)  kx, u_t (x,0)  k , k  R.

□ Применим формулу Даламбера (10) для неоднородного уравнения, в которой
a  2, (x)  kx, (z)  k, f (z, )  sin .
_{1 1} x2t ₁ t ^{x2(t )}

u(x,t)  (k  (x  2t)  k  (x  2t)) 

2 2  2


x2t
kdz  _{ }

2  2
0 x2(t )
sin dzd ,

1
t
u(x,t)  kx  kt  _{4 }sin d 
x2(t )

t

1
dz  k (x  t)  _{4 }sin   4d ,

0 x2(t ) 0


t _t t _
u(x,t)  k (x  t)  _sin   d   k (x  t) _cos  ₀  _cos d _  k (x  t)  t cos t  sin t.
0  0 
^Ответ: u(x,t)  k(x  t)  t cost  sint. ^■

3. Постановки задач для волнового уравнения

Для волнового уравнения в зависимости от множества, на котором требуется найти решение уравнения, ставятся начальные задачи (задачи Коши) и краевые задачи.

В задачах о колебаниях ограниченной струны областью определения решения являет-
ся бесконечная полуполоса D _(x,t): 0  x  l , t  0_, где l − длина струны. В полуполо-
се, как правило, формулируются краевые (начально-краевые, смешанные) задачи, содержа- щие и начальные, и граничные условия.
Выделяют три основных вида граничных условий (ГУ), которые применительно к волновому уравнению имеют следующий физический смысл:
ГУ 1-го рода u(0,t)  (t) − задан закон перемещения левого конца струны; ГУ 2-го рода u_x (0,t)  (t) − задана сила воздействия на левый конец струны;

ГУ 3-го рода
конца струны.
u_x (0,t)  h(u(0,t)  (t)) − соответствует упругому закреплению левого

Граничные условия называют однородными, если функции
(t), (t),
(t) в правых

частях условий равны нулям. Например, однородное граничное условие 1-го рода при x  0
имеет вид u(0,t)  0. Аналогичные условия могут быть заданы и на правом конце струны.
Первая краевая задача для волнового уравнения состоит в отыскании функции
u(x,t), определенной в области D _(x,t): 0  x  l , t  0_, удовлетворяющей уравнению
u  a²u  f (x,t) для 0  x  l, t  0,

начальным условиям: граничным условиям:
tt xx
u(x,0)  (x), u_t (x,0)  (x) для 0  x  l,
u(0,t)  ₁(t), u(l,t)  ₂ (t) для t  0.

Как видно, в названии краевой задачи отражен род краевых условий. Аналогичным
образом формулируются вторая и третья краевые задачи. Перечень постановок задач можно расширить, допустив на концах струны разные типы граничных условий (смешанные задачи) или иной тип воздействий, не описываемый предложенными тремя способами.
При решении краевых задач используют аналитические и численные методы. В дан- ной лекции ограничимся аналитическим методом разделения переменных.

4. Метод разделения переменных в краевых задачах

Рассмотрим метод разделения переменных для первой краевой задачи с однородным

волновым уравнением: найти функцию u(x,t), определенную в области
D_(x,t): 0  x  l , t  0_ и удовлетворяющую уравнению:

u  a²u для 0  x  l, t  0,
(11)

tt xx
начальным условиям: u(x,0)  (x), u_t (x,0)  (x) для 0  x  l,
граничным условиям: u(0,t)  0, u(l,t) 0 для t  0,
(что соответствует закреплению (неподвижности) концов струны).

(12)
(13)

Метод разделения переменных называют методом Фурье.

1. 
   Представим нетривиальное (отличное от тождественного нуля) частное решение уравнения, удовлетворяющее однородным граничным условиям, в виде произведения
   

u(x,t)  X (x) T (t)  0.
Подставим его в уравнение (11) и разделим на произведение


X (x) T (t) ^:
(14)

X (x) T ^(t)  a² X ^(x) T (t) 
T ^(t)
 ^{X (x)}  ,

(15)

или T ^(t)  a²T (t)  0 и

X ^(x)  X (x)  0.
a²T (t)
X (x)

У функций разных переменных общим значением может быть только число, которое ^{обозначим} () ^.
Подставим (14) в (13):

X (0) T (t)  0  X (0)  0, X (l) T (t)  0  X (l)  0.
(16)

Из (15), (16) следует, что функция X (x) должна быть нетривиальным решением крае- вой задачи с параметром λ:

X ^(x)  X (x)  0, 0  x  l,
X (0)  0, X (l)  0;
а функция T (t) − нетривиальным решением уравнения

n
T^  a² T  0.
(17)
(18)

2. 
   Найдем все значения параметра  , при которых существуют соответствующие им нетривиальные (отличные от тождественного нуля) решения краевой задачи (17), и сами ре- шения X. Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля.
   

Уравнение X ^  X  0 является линейным однородным дифференциальным урав-
нением (ДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Используем подстановку Эйле-

ра X
 e^kx ,
где k является корнем характеристического уравнения

k²    0.

Рассмотрим три случая.
В первом случае положим

 0.

Тогда уравнение

k²  0  0

имеет корень

k  0

кратности, равной числу два. ФСР этого ЛОДУ содержит функции
X  e⁰ 1 и
X ₂ x 1  x.

1
Общее решение является линейной функций
X  C₁  C₂ x.
Эта функция равна нулю при

x  0 и x  l
только при C₁  C₂  0. Тогда
X  0 является тривиальной функцией, которая

не удовлетворяет условиям задачи.
Во втором случае положим

  0, или    m²(m  0).

Тогда уравнение

1

2
k²    0

1 2

1 2
принимает вид: k² m² 0  k  m, k  m. ФСР содержит функции
X  e^mx и X
 e^mx.

Общее решение равно
X  C e^mx  C e^mx.
Эта функция равна нулю на концах отрезка при

x  0 и x  l
только при C₁  C₂  0. Снова приходим к тривиальному решению
X  0 , ко-

торое нас не устраивает.
В третьем случае положим

  0, или   m²(m  0).

Уравнение (19)

k²    0

имеет вид
k² m² 0  k  mi, k  mi. ФСР содержит функции X  cos mx и

1 2 1

X₂ cos mx.
Общее решение равно
X  C₁ cos mx  C₂ sin mx.
Эта функция равна нулю на

концах отрезка при
x  0 и
x  l
только при выполнении условий:

X (0)  0  C₁ cos m  0  C₂ sin m  0  0, или C₁  0.

X (l)  0  C₂ sin ml  0, или sin ml  0, ml  n,
n .

^n  ^n ²
nx

Отсюда следует, что m  , n  . Тогда   , X  sin
_l n  _l  n _l
, n  . Эти

 

числа _n называют собственными числами, а соответствующие решения


X_n − собствен-

ными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

3. 
   
    
   ^{Найдем функцию} T (t) ^{из уравнения} T^  a² T  0,
   

 ^n ²
, n  . Общее

n n  _l 

решение этого ЛОДУ 2-го порядка равно T (t)  A

cos ^ant  B
 
_sin ant _.

n n _l n _l


4. 
   Запишем общее решение в виде ряда u(x,t)  _ X_n (x)T_n (t), или
   

n1
^{ nx}  ^{ant ant} 

u(x,t)  _sin _{l } A_n cos _l  B_n sin _{l }.
(19)

n1 ^{ }

Для определения коэффициентов
A_n , B_n
используем начальные условия (12):

^{ nx} 
an  0
^{an  0} 

u(x,0)  (x)  (x)  _sin _l
 A_n cos _l

• 
  B_n sin _{l }
  

n1