Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн

l

sin

l

dd.

Искомую функцию
u(x,t) запишем в виде суммы функций
s(x,t), z(x,t) и
w(x,t) из

формул (25), (29) и (33) соответственно.

2. 
   Метод представления решения в виде ряда. При решении задачи (28) названным методом целесообразно следовать приведенной ниже методике.
   

1. 
   Рассмотреть соответствующее однородное уравнение с заданными граничными ус-
   

_v
 a²v ,

ловиями: _
tt xx

_v(0,t)  0, v(l,t)  0.

Используя метод разделения переменных v(x,t)  X (x) T (t)  0 , прийти к задаче

Штурма-Лиувилля. Найти ее собственные числа и функции _n
_2_n2
_l2 , X_n sin

nx l
, n  .
nx

2. 
   Представить решение в виде ряда по функциям
   

X_n (x): u(x,t)  _T_n (t)sin .

l
n1

Разложить функции
f (x,t), (x), (x) в ряды по синусам, в данном случае в ряды Фурье.

Коэффициенты разложений обозначить
f_n (t), _n , _n соответственно. Подставить решение в

виде ряда в уравнение и начальные условия, в результате чего получить задачу Коши отно- сительно T_n (t) :

_  ^n ² _

T_n  a _{ l } T_n  f_n (t), T_n (0)  _n , T_n (0)  _n .

 

Задача содержит линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка и два начальных условия.

3. 
   Решить задачу Коши относительно ряд и записать ответ:
   

T_n (t) , подставить найденные функции
T_n (t) в


u(x,t)  _T_n (t)sin
n1
nx _.

l

Пример 2. Решить краевую задачу


_u_tt  u_xx , 0  x  , t  0,
_u(x, 0)  0, u_t (x, 0)  0, 0  x  ,


^u(0,t)  0, u(,t) 1, t  0.

□ Данная задача содержит однородное волновое уравнение, нулевые начальные усло- вия и граничные условия 1-го рода, одно из которых (на правом конце) является неоднород- ным. Параметры: a  1, l  .
Применим принцип редукции. Функция, удовлетворяющая граничным условиям, со-

гласно формуле (25) имеет вид
s(x,t) 
^x . Запишем решение в виде суммы



т.е. в виде отклонения от функции
u(x,t)  ^x  v(x,t),



s(x,t). Запись задачи (26) для функции v(x,t)
(34)
имеет вид:

_v_tt  v_xx ,
 ^x


_v(x, 0)   , v_t (x, 0)  0,



_^{v(0,t)  0, v(,t)  0,}

так как s  s  0; (x)  0  ^x   ^x , (x)  0  0.
tt xx _{ }

v(x,t)
При данном переходе к новой функции тип уравнения не изменился: уравнение с осталось однородным, но граничные условия стали однородными. В этом случае

решение 1-й краевой задачи с однородным уравнением описывается формулами (19), (20), которые для нашей задачи принимают вид:


^{v(x,t) } _^{sin nx}  ^{An cos nt  Bn sin nt} ^,
n1
(35)

 

^{2  2 }  ^x 

²  ¹ ^

^{ } cos nx
^ 2(1)ⁿ

₀ ^{   }₀
A_n  _{ }(x) sin nxdx  _{ }  _{ }sin nxdx  _  _  _{ } x 
_ 0



n ^;

n  ^
1 2 ^

B_n   0 sin nxdx  0.
0

Подставим A_n , B_n
в формулу (35), функцию v(x,t)
в формулу (34) и запишем ответ:

x ^ 2(1)ⁿ


u(x,t)   _
n1
_n cos nt sin nx.■