Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн

ЛЕКЦИЯ 4


Волновое уравнение

1. Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн

Уравнение свободных поперечных колебаний однородной струны имеет вид

u  a²u
, a  const.
(1)

tt xx
Это уравнение называют однородным волновым уравнением. Найдем общее решение этого уравнения, используя метод характеристик.

Данное волновое уравнение u  a²u
 0 принадлежит гиперболическому типу, так

tt xx
как a  1, a  0, a  a²,   a ²  a a  a²  0. Характеристиками являются реше-
11 12 22 12 11 22
ния характеристического уравнения (dx)² a²(dt)²  0. Последовательно получим:

(dx)² a²(dt)²  dx  adt,
dx  a dt, x  at  C, ^{ x  at  C1,}

^{  } x  at  C .
 2

В результате найдем два семейства характеристик щих собой прямые линии. При замене переменных
x  at  C₁ и
x  at   и
x  at  C₂, представляю-
x  at   волновое урав-

нение примет вид u_  0. Для обоснования пересчитаем частные производные:

u  u  ( )² 2u

   u

 ( )² u

  u
  a²u
 2a²u  a²u ,

tt  t
 t t
 t
 tt
 tt
  

xx  x  x x  x  xx  xx   
u  u  ( )² 2u    u  ( )² u   u   u  2u  u .
Уравнение u  a²u в новых переменных примет вид:

tt xx
a²u_  2a²u_  a²u_  a² (u_  2u_  u_), или
u_  0.
 4a²u_  0, или
(2)

Последовательно интегрируем полученное уравнение:

u_  0  (u_ )_  0(  const)  u_  g()
 u  _ g()d  f₂ (), или u 
f₁ ()

f₁()  f₂ ().

нения:
Вернемся к исходным переменным
x, y и получим общее решение волнового урав-

u(x, t) 
f₁(x  at)  f₂(x  at).
(3)

Непосредственной подстановкой (3) в (1) при условии двукратной дифференцируемо-

сти функций
f₁(x),
f₂ (x) при любых значениях
x (;  ) убеждаемся, что формула (3)

1 2
описывает общее решение уравнения (1):

u_t 
f ^(x  at)  (a)  f ^(x  at)  a;
u_tt 
f ^(x  at)  (a)²  f
^(x  at)  a²;

1 2
u_x 
f ^(x  at) 1 f ^(x  at) 1;
u_tt 
f ^(x  at) 1²  f
^(x  at) 1²;

1 2

1 2
u  a²u , так как f ^(x  at)  (a)²  f ^(x  at)  a²  a²( f ^(x  at)  f
^(x  at))
(x,t).

tt xx 1 2 1 2
Выясним физический смысл формулы (3). При фиксированном значении t и заданных

функциях
f₁(x) и
f₂ (x)
эта формула описывает профиль (положение точек) струны в мо-

мент времени t . При фиксированном значении x она описывает вертикальные перемещения во времени точки струны с абсциссой x, т.е. колебания этой точки.

Чтобы изобразить профиль струны в конкретный момент времени t при известных

функциях
f₁(x) и
f₂ (x), нужно:

1. 
   построить графики функций
   

f₁(x  at) и
f₂ (x  at), сдвинув график
f₁(x)
вправо

на величину at,
график
f₂ (x)
влево на ту же величину at,

2. 
   сложить графики
   

f₁(x  at) и
f₂ (x  at).

График функции
f₁(x  at) называют прямой волной. Она распространяется вправо

со скоростью а. График функции
f₂ (x  at)
называют обратной волной. Она распростра-

няется влево со скоростью а. Наложение этих графиков и дает профиль струны.

Рассмотрим задачу Коши о свободных колебаниях бесконечной струны, состоящую в

отыскании решения уравнения u  a²u в области t  0,   x  , удовлетворяющего
tt xx
начальным условиям u(x,0)  (x), u_t (x,0)  (x). Ее решение описывается формулой Да- ламбера:

u(x,t)  ¹ ((x  at)  (x  at))  ¹ 2 2a
xat

xat
(z)dz.

(3)

2. Вынужденные колебания бесконечной струны. Принципы суперпозиции и Дюамеля

Вынужденные поперечные колебания однородной бесконечной струны описываются уравнением

u  a²u
 f (x, t),
a  const,    x  , t  0.
(4)

tt xx
Уравнение (4) называют неоднородным волновым уравнением. Внешнее воздействие может быть вызвано наличием поля тяготения или внешней среды, оказывающей сопротивление колебаниям струны.
Задача Коши для уравнения (4) состоит в отыскании такого решения этого уравнения,

которое удовлетворяет начальным условиям
u(x,0)  (x), u_t (x,0)  (x).

Для решения задачи Коши сначала используем принцип суперпозиции, состоящий в разбиении исходной задачи на две новых более простых:

u(x,t)  v(x,t)  w(x,t),
(5)

где v(x,t) − решение задачи Коши для соответствующего однородного волнового уравнения
с заданными начальными условиями:

v  a²v , v(x,0)  (x), v (x,0)  (x);
(6)

tt xx t
w(x,t) − решение задачи Коши для заданного неоднородного волнового уравнения с нуле-

выми начальными условиями:
w  a²w  f (x,t), w(x,0)  0, w (x,0)  0.
(7)

tt xx t
Очевидно, что в силу линейности волнового уравнения суммарная функция

u(x,t)  v(x,t)  w(x,t)
удовлетворяет и уравнению (4), и начальным условиям. Второй

очевидный факт состоит в том, что функция v(x,t) описывается формулой Даламбера.
Остается выяснить, как найти функцию w(x, t). В теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений при решении задачи Коши для линейных неоднородных уравнений ис- пользуют принцип Дюамеля. Распространим этот принцип на рассматриваемую задачу и

представим функцию
w(x, t)
в виде интеграла Дюамеля от новой функции
g(x,t; ) , зави-

сящей от параметра  и являющейся решением новой задачи Коши, а именно:

t
w(x, t)  _ g(x,t; )d,
0

(8)

где
2

 a g

g
tt xx
при
   x  , t  ,
(9)

g(x, ; )  0,

g_t (x, ; ) 
f (x, ).

Чтобы убедиться в правильности представления (8), найдем частные производные и подставим их и функцию в уравнение и начальные условия.
_ t t t

t
w_t (x, t)  _ g(x,t; )d  g(x,t;t)  _ g_t (x,t; )d  0  _ g_t (x,t; )d.
0 0 0
Здесь и ниже использовано правило дифференцирования интеграла с переменным верхним

dt
_d t t 

пределом по параметру:
_ f (x; t)dx  f (t; t)  _ f_t (x; t)dx.
a a

_ t t t
w_tt (x, t)  _{t } g_t (x,t; )d  g_t (x,t;t)  _ g_tt (x,t; )d  f (x,t)  _ g_tt (x,t; )d.
0 0 0
_ t t t
w_x (x, t)  _{x } g(x,t; )d  _ g_x (x,t; )d, w_xx (x, t)  _ g_xx (x,t; )d.
0 0 0

g

g

f (x,t) 

(x,t; )d  a²

(x,t; )d  f (x,t),
t t

(x, t)  a²w

Тогда

w

(x, t)  f (x,t) 
tt xx
_ tt
_ xx

или
0 0
t
_(g_tt (x,t; )  a²g_xx (x,t; ))d  0 (x, t).
0

Начальные условия также выполнены:

0
w(x, 0)  _ g(x,t, )d  0,
0
0
w_t (x,0)  _ g_t (x,t; )d  0.
0

Применим формулы Даламбера к задачам (6) и (9) и получим ответ:
_{1 1} xat ₁ t ^{xa(t )}

u(x,t)  ((x  at)  (x  at)) 
2 2a

xat
(z)dz  _{ }

2a
0 xa (t )
f (z, )dzd .
(10)

Последнее слагаемое найдено с помощью формулы Даламбера после приведения начальных

условий в задаче (9) при t   к условиям при t

 0, где t

 t   и
dt  dt.

Формулу (10) называют формулой Даламбера для неоднородного волнового уравне-