Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн
Download 77.95 Kb.
|
Л4 Волновое уравнение
- Bu sahifa navigatsiya:
- Краевые задачи для волнового уравнения с неоднородностями
- g ( x , ; ) 0, g t ( x , ; )
nx (x) n1 An sin l ; nx ant ant ut (x, 0) (x) (x) sin l t An cos l Bn sin l n1 (x) Bn n1 t 0 an sin nx. l lсам на интервале (0; l) известным формулам: для функций (x) и (x), коэффициенты которых вычисляются по 2 l nx l 2 l nx An l (x)sin l dx, Bn a (x)sin dx. (20) 0 n l 0 l Подставив An, Bn в (19), получим решение поставленной задачи. Для однородного волнового уравнения метод разделения переменных применим к на- чально-краевым задачам с однородными краевыми условиями любого рода и в любых соче- таниях. Метод допускает обобщения на двумерные однородные волновые уравнения, описы- вающие поперечные колебания как прямоугольной, так и круглой плоской мембраны (см. Тихонов-Самарский, гл. V §3 п. 2,3). Рассмотренные задачи Штурма-Лиувилля являются частными случаями более общей задачи Штурма-Лиувилля об отыскании собственных чисел и функций, являющихся реше- ниями линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, содержащего параметр, с пе- ременными коэффициентами и удовлетворяющих однородным граничным условиям. Собст- венные функции обладают свойствами, опираясь на которые можно доказать сходимость и дифференцируемость построенных рядов (см. сб. задач, Петр-ск, гл.V §3). Краевые задачи для волнового уравнения с неоднородностямиРассмотрим процесс вынужденных колебаний струны конечной длины, концы кото- рой перемещаются по заданным законам, и известны начальные смещения и скорости точек струны. Математическая модель этого процесса является первой краевой задачей для волно- вого уравнения): u a2u f (x,t) для 0 x l, t 0, (21) tt xx u(x,0) (x), ut (x,0) (x) для 0 x l, u(0,t) 1(t), u(l,t) 2 (t) для t 0. (22) (23) Здесь: u(x,t) − отклонения точек струны от оси Ох, f (x,t) − внешнее воздействие, (x), (x) − начальные отклонения и скорости точек струны, щений концов струны. 1(t), 2 (t) − законы переме- Для решения этой задачи применим принцип редукции, состоящий в переходе от по- ставленной задачи (21)−(23) к совокупности более простых задач. Сначала представим функцию u(x,t) в виде суммы двух функций: u(x,t) s(x,t) v(x,t), (24) где s(x,t) − функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям при любых значени- у Один из вариантов задания s(x,t) − это линейное относи- тельно х уравнение прямой, проходящей через заданные (см. рис. 1), имеющее вид: x s(x,t) (t) 2 (t) 1 (t) x. (25) 1 l Подставим u(x,t) в виде (24) в задачу (21)−(23): v s a2 (v s ) f (x,t), v a2v f (x,t), tt tt xx xx tt xx v(x, 0) s(x, 0) (x), vt (x, 0) st (x, 0) (x), v(x, 0) (x), vt (x, 0) (x), (26) v(0,t) s(0,t) (t), v(l, t) s(l, t) (t), v(0,t) 0, v(l,t) 0, 1 2 где f (x,t) f (x,t) stt , так как sxx 0; (x) (x) s(x,0), (x) (x) st (x,0). С помощью редукции неоднородные граничные условия преобразовались в однород- ные. Само уравнение и начальные условия также изменились, но не принципиально. Краевая задача (26) содержит неоднородное уравнение с начальными условиями и од- нородные граничные условия. Для ее решения можно использовать: принцип редукции в сочетании с принципом Дюамеля; метод представления решения в виде ряда, который еще называют методом Фу- рье для неоднородных уравнений. Принцип редукции. Повторно применим редукцию, представив функцию v(x,t) в виде суммы v(x,t) z(x,t) w(x,t), где z(x,t) − решение соответствующего однородного уравнения с начальными условиями задачи (26) и нулевыми граничными условиями, w(x,t) − решение неоднородного уравнения задачи (26) с нулевыми начальными и гранич- ными условиями: z a2z , w a2w f (x,t), tt xx tt xx z(x, 0) (x), zt (x, 0) (x), z(0,t) 0, z(l,t) 0; (27) w(x, 0) 0, wt (x, 0) 0, w(0,t) 0, w(l,t) 0. (28) Легко убедиться непосредственным сложением уравнений, начальных и граничных условий в том, что сумма решений задач (27) и (28) является решением задачи (26). Задача (27) является 1-ой краевой задачей для однородного волнового уравнения с однородными граничными условиями и решена выше для произвольных начальных условий методом разделения переменных − методом Фурье. Задача (28) − это 1-я краевая задача для неоднородного волнового уравнения с нуле- выми начальными и граничными условиями, которую можно решить с помощью принципа Дюамеля аналогично задаче Коши для неоднородного волнового уравнения. Решение задачи (27) имеет вид (см. формулы (19), (20)): nx ant ant z(x,t) sin l An cos l Bn sin l , n1 2 l nx l 2 l nx (29) An l (x)sin l dx, Bn a (x)sin dx. 0 n l 0 l К задаче (28) применим принцип Дюамеля и запишем t w(x,t) g(x,t; )d, 0 w(x,t) в виде интеграла (30) граничными условиями и начальными условиями, заданными в момент времени t : a g g 2 tt xx , x , t , g(x, ; ) 0, gt (x, ; ) g(0,t) 0, g(l,t) 0. Можно показать, что задача (31) имеет решение: f (x, ), (31) nx an(t ) l 2 l nx g(x,t; ) bn sin l sin l, где bn a f (x, )sin dx. (32) n1 n l 0 l Коэффициенты an 0, так как начальные смещения равны нулю. Вернемся к функции w(x,t) и получим: t t nx an(t ) l w(x,t) g(x,t; )d bn sin 0 0 n1 l sin d , l (33)
b l 2 f (, )sin n d, 0 n an l l t l 2 an(t ) n nx |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling