Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн


Download 77.95 Kb.
bet3/4
Sana17.06.2023
Hajmi77.95 Kb.
#1544128
TuriЛекция
1   2   3   4
Bog'liq
Л4 Волновое уравнение

 


 


nx

(x)


n1
An sin l ;

nx ant ant
ut (x, 0)  (x)  (x)  sin l t An cos l Bn sin l

n1



 (x)  Bn
n1
t 0
an sin nx.

l l


Полученные ряды (21)−(22) являются рядами Фурье − разложениями в ряды по сину-

сам на интервале (0; l)
известным формулам:
для функций
(x) и (x),
коэффициенты которых вычисляются по

2 l nx l 2 l nx

An l (x)sin l dx, Bn a (x)sin
dx.
(20)

0 n l 0 l
Подставив An, Bn в (19), получим решение поставленной задачи.

Для однородного волнового уравнения метод разделения переменных применим к на- чально-краевым задачам с однородными краевыми условиями любого рода и в любых соче- таниях. Метод допускает обобщения на двумерные однородные волновые уравнения, описы- вающие поперечные колебания как прямоугольной, так и круглой плоской мембраны (см. Тихонов-Самарский, гл. V §3 п. 2,3).


Рассмотренные задачи Штурма-Лиувилля являются частными случаями более общей задачи Штурма-Лиувилля об отыскании собственных чисел и функций, являющихся реше- ниями линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, содержащего параметр, с пе- ременными коэффициентами и удовлетворяющих однородным граничным условиям. Собст- венные функции обладают свойствами, опираясь на которые можно доказать сходимость и дифференцируемость построенных рядов (см. сб. задач, Петр-ск, гл.V §3).
  1. Краевые задачи для волнового уравнения с неоднородностями


Рассмотрим процесс вынужденных колебаний струны конечной длины, концы кото- рой перемещаются по заданным законам, и известны начальные смещения и скорости точек струны. Математическая модель этого процесса является первой краевой задачей для волно- вого уравнения):



u a2u f (x,t) для 0  x l, t  0,
(21)

tt xx
u(x,0)  (x), ut (x,0)  (x) для 0  x l,
u(0,t)  1(t), u(l,t)  2 (t) для t  0.
(22)
(23)

Здесь:
u(x,t) − отклонения точек струны от оси Ох,
f (x,t)
− внешнее воздействие,

(x), (x) − начальные отклонения и скорости точек струны, щений концов струны.
1(t), 2 (t) − законы переме-

Для решения этой задачи применим принцип редукции, состоящий в переходе от по-
ставленной задачи (21)−(23) к совокупности более простых задач.
Сначала представим функцию u(x,t) в виде суммы двух функций:

u(x,t)  s(x,t)  v(x,t),
(24)

где s(x,t) − функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям при любых значени-

ях t>0. Задачу для определения v(x,t)
составим после выбора функции
s(x,t) .

у Один из вариантов задания s(x,t) − это линейное относи-
тельно х уравнение прямой, проходящей через заданные

точки
A(0, 1(t)),
B(l, 2 (t)) (t − параметр) плоскости Оху

(см. рис. 1), имеющее вид:
x s(x,t)   (t)  2 (t) 1 (t) x.
(25)

1 l
Подставим u(x,t) в виде (24) в задачу (21)−(23):

v s
a2 (v
s )  f (x,t),
v a2v
f (x,t),

tt tt xx xx tt xx

v(x, 0)  s(x, 0)  (x), vt (x, 0)  st (x, 0)  (x),  v(x, 0)  (x), vt (x, 0)  (x),
(26)

v(0,t)  s(0,t)   (t), v(l, t)  s(l, t)  
(t),
v(0,t)  0, v(l,t)  0,

1 2

где
f (x,t) 
f (x,t)  stt , так как sxx  0;
(x)  (x)  s(x,0), (x)  (x)  st (x,0).

С помощью редукции неоднородные граничные условия преобразовались в однород- ные. Само уравнение и начальные условия также изменились, но не принципиально.
Краевая задача (26) содержит неоднородное уравнение с начальными условиями и од- нородные граничные условия. Для ее решения можно использовать:

  1. принцип редукции в сочетании с принципом Дюамеля;

  2. метод представления решения в виде ряда, который еще называют методом Фу- рье для неоднородных уравнений.

  1. Принцип редукции. Повторно применим редукцию, представив функцию v(x,t) в

виде суммы
v(x,t)  z(x,t)  w(x,t),
где
z(x,t) − решение соответствующего однородного

уравнения с начальными условиями задачи (26) и нулевыми граничными условиями, w(x,t) − решение неоднородного уравнения задачи (26) с нулевыми начальными и гранич- ными условиями:

z a2z ,
w a2w
f (x,t),

tt xx tt xx

z(x, 0)  (x), zt (x, 0)  (x),


z(0,t)  0, z(l,t)  0;
(27)
w(x, 0)  0, wt (x, 0)  0,


w(0,t)  0, w(l,t)  0.
(28)

Легко убедиться непосредственным сложением уравнений, начальных и граничных условий в том, что сумма решений задач (27) и (28) является решением задачи (26).
Задача (27) является 1-ой краевой задачей для однородного волнового уравнения с однородными граничными условиями и решена выше для произвольных начальных условий методом разделения переменных − методом Фурье.
Задача (28) − это 1-я краевая задача для неоднородного волнового уравнения с нуле- выми начальными и граничными условиями, которую можно решить с помощью принципа Дюамеля аналогично задаче Коши для неоднородного волнового уравнения.
Решение задачи (27) имеет вид (см. формулы (19), (20)):
nx ant ant
z(x,t)  sin l An cos l Bn sin l ,
n1

2 l nx l 2 l
nx
(29)

An l (x)sin l dx, Bn a (x)sin
dx.

0 n l 0 l

К задаче (28) применим принцип Дюамеля и запишем
t
w(x,t)  g(x,t; )d,
0
w(x,t) в виде интеграла
(30)

где функция
g(x,t; ) является решением однородного волнового уравнения с нулевыми

граничными условиями и начальными условиями, заданными в момент времени t   :


a g

g
2
tt xx


,    x  , t  ,

g(x, ; )  0, gt (x, ; ) 




g(0,t)  0, g(l,t)  0.
Можно показать, что задача (31) имеет решение:
f (x, ),
(31)

nx an(t  )
l 2 l
nx

g(x,t; )  bn sin l
sin

l


, где bn a f (x, )sin
dx.
(32)

n1
n l 0 l

Коэффициенты an  0, так как начальные смещения равны нулю.

Вернемся к функции
w(x,t)
и получим:

t t
nx an(t  )


l
w(x,t)  g(x,t; )d  bn sin
0 0 n1
l
sin
d ,
l


(33)


b l 2 f (, )sin n d,


0


n an l l

t l 2
an(t  )
n nx

или
w(x,t)   f (, )sin

an

l
0 0 n1
sin

Download 77.95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling