Свободные колебания бесконечной струны. Метод распространяющихся волн


Download 77.95 Kb.
bet4/4
Sana17.06.2023
Hajmi77.95 Kb.
#1544128
TuriЛекция
1   2   3   4
Bog'liq
Л4 Волновое уравнение

l


sin

l


dd.

Искомую функцию
u(x,t) запишем в виде суммы функций
s(x,t), z(x,t) и
w(x,t) из

формул (25), (29) и (33) соответственно.

  1. Метод представления решения в виде ряда. При решении задачи (28) названным методом целесообразно следовать приведенной ниже методике.

  1. Рассмотреть соответствующее однородное уравнение с заданными граничными ус-

v
a2v ,

ловиями:
tt xx

v(0,t)  0, v(l,t)  0.


Используя метод разделения переменных v(x,t)  X (x) T (t)  0 , прийти к задаче

Штурма-Лиувилля. Найти ее собственные числа и функции n
2n2
l2 , Xn sin

nx l
, n  .
nx

  1. Представить решение в виде ряда по функциям

Xn (x): u(x,t)  Tn (t)sin .

l
n1

Разложить функции
f (x,t), (x), (x) в ряды по синусам, в данном случае в ряды Фурье.

Коэффициенты разложений обозначить
fn (t), n , n соответственно. Подставить решение в

виде ряда в уравнение и начальные условия, в результате чего получить задачу Коши отно- сительно Tn (t) :

n 2



Tn a l Tn fn (t), Tn (0)  n , Tn (0)  n .

 


Задача содержит линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка и два начальных условия.

  1. Решить задачу Коши относительно ряд и записать ответ:

Tn (t) , подставить найденные функции
Tn (t) в



u(x,t)  Tn (t)sin
n1
nx .

l


Пример 2. Решить краевую задачу


utt uxx , 0  x  , t  0,
u(x, 0)  0, ut (x, 0)  0, 0  x  ,



u(0,t)  0, u(,t) 1, t  0.


□ Данная задача содержит однородное волновое уравнение, нулевые начальные усло- вия и граничные условия 1-го рода, одно из которых (на правом конце) является неоднород- ным. Параметры: a  1, l  .
Применим принцип редукции. Функция, удовлетворяющая граничным условиям, со-

гласно формуле (25) имеет вид
s(x,t) 
x . Запишем решение в виде суммы


т.е. в виде отклонения от функции
u(x,t)  x v(x,t),


s(x,t). Запись задачи (26) для функции v(x,t)
(34)
имеет вид:

vtt vxx ,
x


v(x, 0)   , vt (x, 0)  0,


v(0,t) 0, v(,t) 0,

так как s s  0; (x)  0  x   x , (x)  0  0.
tt xx



v(x,t)
При данном переходе к новой функции тип уравнения не изменился: уравнение с осталось однородным, но граничные условия стали однородными. В этом случае

решение 1-й краевой задачи с однородным уравнением описывается формулами (19), (20), которые для нашей задачи принимают вид:


v(x,t) sin nx An cos nt Bn sin nt ,
n1
(35)

 


2 2 x

2 1


cos nx
2(1)n


0 0
An (x) sin nxdx sin nxdx x
0


n ;


n
1 2


Bn   0 sin nxdx  0.
0

Подставим An , Bn
в формулу (35), функцию v(x,t)
в формулу (34) и запишем ответ:

x 2(1)n



u(x,t)  
n1
n cos nt sin nx.■





Download 77.95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling