Ta‟lim vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi

r  mt

4. 
   k axborot belgilar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
   

k  n  r  (2^m 1)  r

BChX kodini kodlash quyidagidan iborat: Zarur
 (x)   ₀ ... _k1
kod

kombinatsiyasini
_xnk
razryadga chapga siljitib shu sonni olamiz:

0 k 1 0 k 1
x^nk (x)  x^nk (  ...   x^k1 )   x^n1  ... x^n1


x^nk (x) ko‗pxadini g(x)ga bo‗lamiz va bo‗linmani quyidagi ko‗rinishda yozamiz:
x^nk (x)  g(x)  q(x)  r(x),

bu yerda q(x)- bo‗linma;

r(x)- g(x) ga bo‗lingandagi qoldiq.
g(x) ko‗pxadining darajasi n-k ga teng ekan , r(x) ning darajasi n-k-1
ga teng bo‗ladi.
Bunda x^nk (x)  r(x)  g(x)q(x) , bu yerdan bo‗linadigan BChX kodning
izlangan kodli kombinatsiyasini olamiz.
BChX kodlarning boshqa siklik kodlardan farqi shundaki, keltirib bo‗lmaydigan polinomlar GF(q) kengligini kengaytirishda ildizga ega

bo‗lishi mumkin. Agar q, (q=q^m) sonining darajasi bo‗lsa, bunda m-1 darajali polinom kengligi elementlaridir, ularning koeffitsienti GF(p) oddiy kengligida yotadi.
GF(q) oddiy kengligida kengaytirilgan kengliklar Galua maydoni deyiladi. GF(q^m) maydoni elementlari m razryadli vektorlarning q elementi bilan ifodalanadi.
Misol. 3 xatoni to‗g‗rilovchi BChX kod yasaymiz, kodli kombinatsiya uzunligi n=15. M=log₂(n+1)=log₂(15+1)=4 rMinimal ko‗pxadlar jadvalidan 1 va 3 minimal ko‗pxadlarni tanlaymiz: M₁(X)=10011; M₃(x)=11111; M₅(x)=111.
Bunda g(x)= 10100110111, va r=10, k=n-r=5, (15,5) kodga egamiz. 10101 kombinatsiyasini kodlaymiz:

Yuqorida keltirilgan kombinatsiyani polinom ko‘rinishga keltiramiz:

BChX kodi bilan kodlangan kombinatsiya quyidagi ko‗rinishga ega bo‗ladi: 10101 1001000111.
2 va 10 pozitsiyalariga xatolarni kiritamiz: 111011001100111.
Hosil qilinadigan polinomga qabul qilingan kombinatsiyani bo‗lamiz:

Yuqorida keltirilgan kombinatsiyani polinom ko‘rinishga keltiramiz:




Olingan W=8 qoldiqimizning vazni to‗g‗irlangan xatolar sonidan katta ekan, kombinatsiyani siklik siljitishni va hosil bo‗ladigan polinomga qoldiq ikkiga teng vaznda bo‗lgunicha bo‗lishni amalga oshiramiz:

Yuqorida keltirilgan kombinatsiyani polinom ko‘rinishga keltiramiz:

Olingan W=7 qoldig‗imizning vazni to‗g‗irlangan xatolar sonidan katta ekan, kombinatsiyani siklik siljitishni va hosil bo‗ladigan polinomga qoldiq ikkiga teng vaznda bo‗lgunicha bo‗lishni amalga oshiramiz:

Yuqorida keltirilgan kombinatsiyani polinom ko‘rinishga keltiramiz:

Modul bo‗yicha oxirgi ikkita bo‗linuvchilarni qoldiqlari bilan qo‗shamiz 101100110011111  10000001 = 101100100011110.

Olingan ketma-ketligimizni ikkita razryad o‗ngga siklik siljitamiz: 010110010001111, 101011001000111- bu ketma-ketlik yuborilgan hisoblanadi.
BChX kodini dekodlash algoritmi bir nechta bosqichdan iborat: 1.Sindromni hisoblash.

2. 
   Xatolar lokatori ko‗pxadini hisoblash.
   
3. 
   Hatolar lokatori ko‗pxadi ildizlarini topish.
   
4. 
   Xatolarni to‗g‗irlash.
   

Misol. n=15 uzunlikdagi kodli so‗zlar va kodli so‗zlar orasidagi d=5 minimal masofali BChX kodini qurish kerak. Oddiy ko‗phadning darajasi q=log₂(n+1)=4 ga teng va uning o‗zi x⁴+x³+1 ga teng. α bu ko‗phadning ildizi bo‗lsin, u holda α² va α⁴ ham uning ildizlari bo‗ladi. α³ uchun minmal ko‗phad x⁴+x³+x²+x+1 bo‗ladi.
Demak, g(x)=EKUK (x⁴+x³+1, x⁴ +x³+x²+x+1)=
= (x⁴+x³+1)(x⁴+x³+x²+x+1)=x⁸+x⁴+x²+x+1.
Olingan ko‗phadning darajasi 8 ga teng, demak, qurilgan BChX kod (7,15) kodli bo‗ladi. 1000100 so‗z yoki a(x)=x⁴+1 a(x)g(x)=x¹²+x⁶+x⁵+x²+x+1 yoki 111001100000100 kodli so‗z bilan kodlanadi.
n =2^q-1 uzunlikdagi va kodli so‗zlarli va nazorat simvollari soni q(d-1)/2 dan ortiq bo‗lmagan d toq minimal masofali ikkilik BChX kodni qurish mumkin.
Amalda qo‗llanilgan birinchi BChX kod 5 gacha karrali xatoliklarni to‗g‗rilaydigan (92,127) kod bo‗lgan, ammo eng keng qo‗llanishni 6 gacha karrali xatoliklarni aniqlaydigan (231, 255) kod oldi. O‗rtacha uzunlikdagi BChX kod takomillashgan va kvazi takomillashgan kodlardan juda uzoqda emas. Xemming kodlari, masalan, BChX kodlar hisoblanadi, kodli so‗zi minimal 5 vaznli BChX-kodlar kvazi takomillashgan kodlar hisoblanadi. Lekin kodli so‗zlar uzunliklarining ortishi bilan BChX kodlarning sifati pasayadi.