Ta‟lim vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi

G to‗plamga tegishli bo‗lgan g elementlarga teskari bo‗lgan element g^–1 mavjud bo‗lishi kerak. Agar quriladigan amal qo‗shish bo‗lsa teskari element (-a) kabi, agar ko‗paytirish bo‗lsa, unda teskari element a^–1 kabi belgilanadi.

Guruh chekli deyiladi, agar u chekli sonli elementlardan tashkil topgan bo‗lsa, aks xolda esa cheksiz guruh deb aytiladi.
Kodlashtirish nazariyasi bo‗yicha ayirish amali modul m (mod m) bo‗yicha bajariladi. Bunda bizni sonning o‗zi emas m natural songa bo‗linishi natijasida bir xil qoldiqlarga ega bo‗lgan ikkita son o‗zaro ekvivalent son deyiladi. Masalan, m=2 bo‗lganda ikkita son yoki ikkalasi ham toq yoki ikkalasi ham juft bo‗lganda o‗zaro ekvivalent bo‗ladi. Ikkita a va v sonini m ga bo‗lganda bir xil qoldiqqa ega bo‗lsa, u holda bu ifoda quyidagicha yoziladi: a  v (mod m)
Masalan, 7=3 (mod 4) 7 soni 3 ga modul 4 bo‗yicha teng deb aytiladi.
Qo‗shish va ko‗paytirish amallari bajariladigan R to‗plam, quyidagi aksiomalar o‗rinli bo‗lganda xalqa deb ataladi:

1. 
   R to‗plam qo‗shish amaliga nisbatan kommutativ guruh hisoblanadi;
   
2. 
   Assotsiativlik R to‗plam elementlari a, v, s uchun quyidagi tenglik o‗rinli: a (v + s) = a v + a s
   
3. 
   Xalqada ko‗paytirish amaliga nisbatan, shu xalqaga tegishli bo‗lgan birlik element mavjud: 1 a = a 1 = a
   

Nol bo‗lmagan elementlarning teskari elementi mavjud bo‗lgan kommutativ xalqaga maydon deb ataladi. Maydon – bu «qo‗shish»,
«ayirish», «ko‗paytirish», «bo‗lish» mumkin bo‗lgan matematik obyektlar to‗plamidir.
Modul 2 bo‗yicha qo‗shish va ko‗paytirish mumkin bo‗lgan ikkita simvollar 0 va 1 alfaviti ikkita elementdan iborat bo‗lgan maydon deb ataladi va GF(2) kabi belgilanadi.
q ta elementdan iborat bo‗lgan maydon chekli maydon yoki Galua maydoni deb ataladi va GF(q) kabi belgilanadi.
Agar q R sonining darajasi ko‗rinishida (q=p^m , m – butun son ) bo‗lsa, u xolda GF(P^m) maydonning elementlari (m-1) darajali ko‗pxad
ko‗rinishida bo‗ladi: a₀ + a₁ x + a₂ x² + …..+ a_m-1 x^m-1. a_i koeffitsientlar GF(P) maydonga tegishli bo‗lgan sonlardir.
Siklik kodlarni qurishda foydalaniladigan R(x) ko‗pxad va GF(P^m)
maydon elementlarning bir qator xossalari mavjud:

1. 
   GF(P^m) maydonning hamma noldan farqli elementlari;
   
2. 
   P^m–1 tartibli multiplikativ guruhni tashkil etadi. U holda
   

maydonning ixtiyoriy elementi α uchun
_ P^m 1 _{ 1}
tenglik o‗rinli. Ushbu

xossadan kelib chiqadigan tenglik
 ^Pm  
maydonning nolga teng

bo‗lgan elementi uchun ham bajariladi α=0. Maydonning nolga teng

bo‗lmagan elementlari
_õÐ^m 1 _{ 1}
ko‗pxadning ildizlari bo‗ladi,

m
maydonning hamma elementlari esa ^{х Р  x} ko‗pxadning ildizlari
hisoblanadi;

3.