Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1

Lemma 2.3. X fazo ixcham bo'lsin. Keyin proyeksiya : X  Y  Y - yopiq xaritalash.
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik  Y va qatlamni hisobga oling = {( x ; y ): x  X } = X  { y }. U X to'plamiga gomeomorf , shuning uchun u ixcham to'plamdir. Qatlamning ba'zi qo'shnilari O bo'lsin . Ixtiyoriy z nuqtasini ko'rib chiqing = ( x ; y ) qatlam  X  Y va uning boshlang'ich mahallasi
G  ,
Bu yerda Ox - X dagi x nuqtaning qo'shnisi , Oy - Y nuqtaning qo'shnisi . z nuqtasi ixtiyoriy bo'lganligi sababli, bunday qo'shnilar butun to'plamni qamrab olishi mumkin . To'plamning ochiq qoplamasi bo'lsin . Keyin biz cheklangan ochiq subcover tanlashimiz mumkin , va  O , biz qatlamning ba'zi mahallasi sifatida ko'rib chiqamiz . Mayli
U = ,
qaerda O _{i j} =  ( G _{i j} ). Keyin
   Oh ,
bular. proyeksiya y nuqtasi ustida yopiladi va shuning uchun yopiq xaritalash.
2.7 teorema. X bog'langan topologik fazo bo'lsin. Keyin proyeksiya : X  Y  Y - bog'langan xarita.
Isbot. X fazodagi ixtiyoriy qo'zg'almas nuqta bo'lsin . Qatlamni ko'rib chiqing  = = Y { x }. U bog'langan fazoga gomeomorf Y , shuning uchun tola ham bog'langan. Faraz qilaylik, xaritalash x nuqtasi ustida uzilgan , ya'ni. x nuqtaning qo'shni Ox mavjud bo'lib , shunday quvur har qanday mahalla U uchun uzilgan  Ox nuqtasi x . Keling, ba'zi bir bunday bog'langan mahalla U tuzatamiz . Uning uchun O ₁ va O ₂ bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlar mavjudki , O ₁ ∩ O ₂ = va O ₁  O ₂ =  . Qatlam bog'langan va demak, 2.3 teorema bo'yicha O ₁ yoki O ₂ tarkibida mavjud .
W ₁ ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing  O ₁ . Ushbu nuqtaning tasviri = x ₁ U. _ Qatlam  O ₁  O ₂ = , va w ₁ nuqta O ₁ va qatlamga tegishli , shuning uchun  O ₁ ( O ₁ ∩ O ₂ = bo'lgani uchun ). w ₁ O ₁ to'plamning ixtiyoriy nuqtasi bo'lgani uchun , u holda . Xuddi shunday, .
O ₁ va O ₂ to'plamlari bir-biridan ajralgan holda ochiq va ochiq xaritadir. Demak, ( O ₁ ) va ( O _{2 )} U va ( O ₁ ) da boʻsh boʻlmagan ajratilgan ochiq toʻplamlardir.  ( O2 ) = U. _{_ Demak,} U mahallasi uzilib qolgan , bu esa U mahallasining tanloviga ziddir. Shunday qilib, xaritalash x nuqta ustida bog'langan va x nuqta ixtiyoriy, shuning uchun proyeksiya bog‘langan xaritalashdir.
Xulosa 2.5. Agar X va Y bo'shliqlar ulangan bo'lsa, ularning mahsuloti X  Y - bog'langan to'plam.
Isbot . Buning aksini faraz qilaylik. X to'plami bo'lsin Y bog'lanmagan, ya'ni. X  Y = O ₁  O ₂ , bu yerda O ₁ va O ₂ X da boʻsh boʻlmagan ajratilgan ochiqlardir  Y to'plamlari.
Keling, ixtiyoriy z nuqtasini olaylik  O ₁ . Ushbu nuqtaning tasviri ( z ) = x . Qatlam   O ₁  O ₂ ulangan va x nuqta O ₁ shuning uchun  O ₁ ( O _{1 dan beri}  O ₂ = ). z nuqtasi ixtiyoriy bo'lganligi sababli , biz ni olamiz . Xuddi shunday, . O ₁ va O ₂ to‘plamlari X da bo‘sh bo‘lmagan ajratilgan ochiq to‘plamlardir  Y , va xaritalash ochiq, shuning uchun to'plamlar va bo'sh bo'lmagan ajratilgan Y va = Y da ochiq . Bu Y ning aloqadorligiga zid keladi.
Dalilni oddiyroq olish mumkin. X fazo ulanganligi sababli, proyeksiya : X  Y  Y - bog'langan va uzluksiz xaritalash (2.7 teorema va 2.2 Lemma bo'yicha). Y fazosi ulangan. Keyin 2.4 teorema bo'yicha, X  Y - bog'langan to'plam.
Ta'rif 19. Xarita f : X  Agar i topologik joylashuvi mavjud bo'lsa, Y F fazoga parallel (yopiq, ochiq) deyiladi. : X  Y  X fazodan Y topologik mahsulotga F  F bu ( i ( X ) to'plam mos ravishda yopiq, Y da ochiq  F Va)
f = pr _Y  men ,
qaerda pr _Y : Y  F Y – Y faktoriga proyeksiya.
2.8 teorema. Xaritalash f bo'lsin : X  Y tola bilan bog'langan va F fazoga parallel. Keyin f xaritalash ulanadi.
Isbot. X ni i ( X ) bilan aniqlaymiz . Keyin f pr _Y : Y proyeksiyalovchi kichik xaritasi bilan aniqlanishi mumkin  F Y. _ Keling, y  Y - belgilangan nuqta va Oy - uning ixtiyoriy qo'shnisi. Faraz qilaylik, har qanday bog‘langan U mahallasi uchun  Oy nuqtalari y tube f ^–1 ( U ) ulanmagan. Keling, f ^–1 ( U ) = O ₁ O ₂ , bu yerda O ₁ , O ₂ f dagi boʻsh boʻlmagan ajratilgan ochiqlardir. ^–1 ( U ) toʻplamlar va U  Oy y nuqtaning ba'zi bir turg'un bog'langan qo'shnisidir .
X bo'lsin f ^–1 ( y ). Keyin x Taxminan ₁ yoki x O ₂ . Aytaylik, x O ₁ . Y.da shunday ochiq mavjud  F to'plami G ₁ , bu O ₁ = G ₁  X. _ Topologiyaning ta'rifiga ko'ra, Y  F mahallalar bor V _x  U nuqta y va ochiq W to'plami F da shunday
x  = V _x  V  G ₁ .
To'plamdan beri f ^–1 ( y ) shart bilan bog‘lanadi, keyin x f ^–1 ( y ) O ₁ .
X ( V _x) dan ixtiyoriy nuqta bo'lsin  V ) X. _ Keyin x  O ₁ va
f ^–1 ( f ( x )) O ₁ .
Binobarin, O _{1 har bir} f qatlamini o'z ichiga oladi ^–1 ( y ), bu erda y  V _x (qatlamma-qavat ulanishi tufayli f ).
Shunday qilib, har bir nuqta uchun x Taxminan ₁ mahallada V _{x bor}  U nuqtasi f ( x ) bu x f ^–1 ( V _x ) O ₁ . Shunung uchun
.
Demak, to'plam y nuqtaning qo'shnisi va O ₁ = f ^–1 ( V ₁ ). Xuddi shunday, O ₂ = f ekanligi aniqlandi ^–1 ( V ₂ ), bu yerda V ₂ Y da bo‘sh bo‘lmagan ochiq to‘plamdir . Kimdan, U = V ₁ U ning bogʻlanishiga zid boʻlgan V _{2 . Bu} f xaritalash y nuqta ustida bog'langanligini bildiradi .

Рис.8.