Ta'rif Agar y fazoda ochilgan har bir o to'plam X fazoda ochilgan to'liq f –1 ( o ) teskari tasvirga EGA bo'lsa, f : X →Y xaritalash uzluksiz deyiladi. Izoh 1


Download 358.11 Kb.
bet6/13
Sana11.10.2023
Hajmi358.11 Kb.
#1698464
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
1527hbbuuhu

Taklif 2.3. Xaritalash f bo'lsin : X Y nuqtasi y nuqtasi ustida yopilgan   Y , bu erda T - Y dagi ixtiyoriy to'plam . Keyin pastki xaritalash g = f |  :–1 ( T ) T y nuqtasi ustida yopilgan . Xususan, agar f xaritalash yopiq bo'lsa (har bir y nuqtasi ustida  T ), keyin g xaritalash ham yopiladi (har bir y nuqtasi ustida  T ).
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik   Y va g -1 ( y ) = f qatlamning ba'zi O qo'shnilari –1 ( y ), shunday
O O '   f –1 ( T ),
Bu erda O - X dagi ochiq to'plam . Xaritalashdan boshlab f y nuqta ustida yopiq , y nuqtaning Y da f –1 ( O ' y ) qo'shni O ' y mavjud.  O' . U holda Tda y nuqtaning Oy qo'shnisi borki , Oy Oy '   T , va f –1 ( Oy ) = g –1 ( Oy )  O '   f –1 ( T ) = Oh . Binobarin, xaritalash g y ustida yopiladi Y. _
Agar ko'rsatilsa f har bir y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa , keyin g xaritalash har bir y nuqtasi ustida yopiladi .
Keling, ulangan va qatlam bo'yicha bog'langan yopiq xaritalar o'rtasidagi aloqani o'rnatamiz.
Taklif 2.4. Ko'rsatishga ruxsat bering f : X → Y y nuqtasi ustida yopiq Y va qatlam f –1 ( y ) uzilgan to‘plamdir. Keyin y nuqta ustida f xaritalash uziladi . Xususan, agar f xaritalash yopiq bo'lsa va uning har bir tolasi uzilgan bo'lsa, u holda har bir y nuqtasi ustida uziladi. Y. _
Isbot . f –1 ( y ) qavati uzilgan to‘plam bo‘lgani uchun f da shunday bo‘sh bo‘lmagan ochiqlar mavjud. –1 ( y ) O 1 va O 2 ni shunday o‘rnatadiki, O 1 O 2 = va O 1 bo‘ladi.   O 2 = f –1 ( y ). U holda Xda Q 1 va Q 2 ochiq to'plamlar mavjud bo'lib, shunday qilib
O 1 = Q 1 f –1 ( y ), O 2 = Q 2  f –1 ( y ).
Keling, ushbu to'plamlarning yopilishini ko'rib chiqaylik va X da . _ Ularning kesishishi yopiq to'plam va F  f –1 ( y ) = (chunki O 1 va O 2 f da yopiq –1 ( y ), ochiqlarning to‘ldiruvchisi sifatida). O = ( Q 1 ni o'rnating Q 2 ) \ F X da ochiq va f –1 ( y ) Oh . Bu qo‘shni O uchun (kartalash f ning yopiqligi tufayli ) y nuqtaning Oy qo‘shnisi mavjud bo‘lib , f –1 ( Oy ) bo‘ladi. Oh . G 1 bo'lsin = f –1 ( Oy ) Q 1 va G 2 = f –1 ( Oy ) Q 2 f –1 ( Oy ) da ochiq to‘plamlardir . Chunki
 X \ f –1 ( Oy ),
keyin G 1  G 2 = . Keyin f -1 ( Oy ) = G 1  G2._ _ _ Shuning uchun f kolbasi –1 ( Oy ) ulanmagan.
U _  Oy – y nuqtaning ixtiyoriy qo‘shniligi . Keyin va ajratilgan to'plamlar ochiladi f –1 ( U ), va bo'sh emas, chunki O 1   va O 2   . Shuning uchun, har qanday mahalla uchun U  Oy tube f –1 ( U ) ulanmagan. Ta'rifi bo'yicha f xaritalash y nuqtasi ustida uzilgan .
f xaritalash har bir y nuqtasi ustida yopiq bo'lsa Y va uning har bir qatlami uzilgan bo'lsa, ixtiyoriy y nuqtasi uchun f xaritalash uning ustida uziladi, shuning uchun har bir y nuqtasi ustida  Y. _
Belgilangan taklifdan u avtomatik ravishda keladi
Xulosa 2.2. Ko'rsatishga ruxsat bering f : X → Y y nuqtasi ustida yopiq Y va ulangan y nuqtasi ustida . Keyin qatlam f –1 ( y ) bog‘langan to‘plamdir. Xususan, agar f yopiq va bog'langan xaritalash bo'lsa, u tolalar bilan bog'langan.
Taklif 2.5. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq va qavatma-qavat bog'langan. Keyin u izchil bo'ladi.
Isbot. Keling, ixtiyoriy y nuqtasini olaylik Y va f xaritalash y nuqtasi ustida uzilgan deb faraz qilaylik . So'ngra y nuqtaning Oy qo'shnisi borki , f –1 ( U ) trubkasi har bir U mahallasi ustidan uzilgan. Oy ball y . Keling, quyidagi shartlar bajarilgan ba'zi bir bog'langan U qo'shnisini tuzataylik:
f –1 ( U ) = O  O 2 , O ∩ O = ,
qaerda O va O 2 - bo'sh bo'lmagan ochiq f –1 ( U ) ko'pchilik.
Qatlam f –1 ( y ) ulanadi va f –1 ( y )  f –1 ( U ), demak, f –1 ( y ) O 1 yoki O 2 tarkibida mavjud (1.4 teorema bo'yicha). X 1 O 1 ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqaylik . Bu nuqtaning tasviri f ( x 1 ) = y 1 U. _ Shartga ko'ra, f qatlami –1 ( y 1 ) ulanadi va –1 ( y 1 ) O 1 O 2 = –1 ( U ). O 1 O 2 = va x 1 O 1 bo‘lgani uchun (1.4 teorema bo‘yicha), f. –1 ( y 1 ) O 1 . (Boshqacha qilib aytganda, agar qatlamning bir nuqtasi O1 to'plamiga tegishli bo'lsa , unda butun qatlam ushbu to'plamga tegishlidir.)
x 1 nuqta ixtiyoriy bo'lgani uchun O 1 = f bo'ladi –1 ( ( O 1 )). Xuddi shunday O 2 = f ekanligi isbotlangan –1 ( ( O2 )) .
f xaritalash yopilgan, keyin 2.3 teorema bo'yicha g kichik xaritasi = : -1 ( Oy ) Oy ham yopiq. Shunday qilib, to'plamlar ( O 1 ) = ( O 1 ) va ( O2 ) = ( O 2 ) U va U da ajratilgan ochiq-yopiq bo'ladi = ( O 1 ) ( O 2 ), ya'ni. U mahallasi uzilgan. Bu mahallani tanlashga zid keladi U. _
Yopiq xaritalashlar uchun qatlamli ulanish va ulanish o'rtasidagi natijaviy munosabatlar endi quyidagi teorema ko'rinishida ifodalanishi mumkin:
2.3 teorema. Yopiq xaritalash f : X → Y faqat va faqat tolali ulangan bo'lsa ulanadi.
(Nulosa 2.1 va 2.5 taklifidan kelib chiqadi).
Oxirgi teorema va 2.2-2.3 takliflaridan quyidagi xulosalar olinadi:
Xulosa 2.3. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq, Z  X X da yopilgan. Submap g = f | Z : Y faqat va faqat tolali ulangan bo'lsa ulanadi.
Xulosa 2.4. Xaritalash f bo'lsin : X → Y yopiq, T  Y - ixtiyoriy to'plam. Kichik xarita g = f |  :–1 ( T ) T , agar u tolali ulangan bo'lsa, ulanadi.
Bu yerda muhokama qilingan xususiyatlar keyingi paragraflarda ulangan va ajratilgan xaritalash misollarini yaratish uchun asos sifatida ishlatiladi.



Download 358.11 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling