Tasodifiy miqdorlar diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar
5 mavzu ТАСОДИФИЙ МИКДОРЛАР
| X
P(x) |
2 0.3
|
4 0.1
|
5 0.2
|
|
6 0,4
|
pi= 0.3 + 0,1 + 0,2 + 0,4 = 1.
Jadval ko`rinishida berilgan taqsimot qonuni diskret tasodifiy miqdorning to`liq xarakteristikasini beradi. Lekin uzluksiz tasodifiy miqdor uchun bunday “jadval” yordamida xarakteristika tuzish mumkin emas. Buning sababi shuki, uzluksiz tasodifiy miqdor o`zining har qanday o`zgarish oralig`ida turli qiymatlarning cheksiz to`plamiga ega. Bunday tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarining “sanalgan va nomerlangan” jadvalini tuzish mumkin emas. Ehtimollar nazariyasida turli xarakterdagi tasodifiy miqdorlarni yagona usul bilan tariflash maqsadida taqsimot funksiyasi tushunchasi kiritiladi.
2. Taqsimot funksiyasi
tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini analitik ifodalash uchun taqsimot qatoridagi singari hodisalarning har xil lardagi qiymatlarining ehtimollarini olmasdan, balki berilgan uchun hodisalarning ehtimollarini qaraymiz.
Sinash natijasida tasodifiy miqdor qiymatlardan birini qabul qilsin, ya’ni bo’lsin.
Bitta sinashda tasodifiy miqdorning dan kichik qiymat qabul qilishi ehtimoli bo’lsin. hodisaning ehtimoli ning funksiyasi, ya’ni bo’ladi.
1-ta’rif. tasodifiy miqdorning dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoli ga tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Bundan tashqari taqsimotning integral funksiyasi yoki taqsimotning integral qonuni deb ham yuritiladi.
T aqsimot funksiyasi geometrik jihatdan
tasodifiy nuqta berilgan nuqtadan chapga
tushadi kabi izohlanadi (2-shakl).
3 -misol. Tasodifiy miqdorning taqsimot qatori berilgan. Taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini chizing.
Y e c h i s h. ga har xil qiymatlar berib, ular uchun larni topamiz:
1. da bo’lishi ravshan ( shunindek da ).
2. bo’lsin. Shuningdek
3. bo’lsin.
4. bo’lsin.
Demak (3-shakl),
Bu misol ushbu xulosaga kelish imkonoini beradi: har qanday diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzlukli zinasimon funksiyadan iborat bo’lib, bu funksiya tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarida ularning ehtimollariga teng sakrashlarga ega bo’ladi va funksiyaning barcha sakrashlari yig’indisi birni beradi.
4-misol. X tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos ravishda p va q ehtimolliklar bilan qabul qilsin (p+q=1), ya`ni va . Bu holda uning taqsimot funksiyasi
bo`ladi.
5-misol. kesmaga tasodifiy ravishda nuqta tashlanmoqda, ya`ni ga tegishli qaysidir to`plamga nuqtaning tushish ehtimolligi bu to`plamning Lebeg o`lchoviga proporsional bo`lsin.
.
Agar bo`lsa, bo`ladi.
Demak, taqsimot funksiyasi quyidagi ko`rinishga ega:
Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega bo’ladi.
Taqsimot funksiyasi nol va bir orasida yotuvchi musbat funksiya, ya’ni
.
Xossaning isboti funksiyaning ehtimol ekanidan kelib chiqadi.
Tasodifiy miqdorning oraliqqa tushishi ehtimoli taqsimot
funksiyasining bu oraliqdagi orttirmasiga teng, ya’ni
.
Taqsimot funksiyasi butun sonlar o’qida kamaymaydigan funksiya, ya’ni
da
Taqsimot funksiyasi minus cheksizlikda nolga teng va plyus cheksizlikda birga teng, ya’ni , .
1. Bernulli sxemasi.
Ehtimolliklar nazariyasida Bernulli sxemasi deganda, o`zaro bog`liqsiz tajribalar ketma-ketligi tushuniladi va har bir tajriba natijasida biror A hodisaning ro`y berishi yoki bermasligi kuzatiladi. Bu hodisaning ro`y beriish ehtimolligi tajriba tartibiga bog`liq bo`lmaydi.
Bernulli sxemasini umumiyroq qilib quyidagicha ham kiritish mumkin. Aytaylik, 2 ta elementlardan iborat bo`lgan bosh to`plamdan qaytariladigan sxema bo`yicha hajmi n ga teng bo`lgan tanlanmalar olaylik va bu tanlanmalar to`plamini deb belgilaylik. ning ixtiyoriy elementi
bo`lib, 0 yoki 1 ga teng bo`ladi.
Hamma tanlanmalar soni va da quyidagi manfiy bo`lmagan funksiyani aniqlaylik. Agar tanlanmada ta 1 bo`lsa,
, .
Bu funksiyani ehtimollik taqsimoti bo`lishi uchun
ekanligini ko`rsatish kerak bo`ladi. Haqiqatan ham, oson ko`rinadiki, ta 1 elementli tanlanmadagi n ta joyda usul bilan joylashtirish mumkin. Demak, ta 1 ni o`ziga keluvchi tanlanmalar soni ham shu ga teng, yani
deb olsak,
, (1)
.
Endi
tenglikni olamiz va bu tenglikni isboti davomida biz binomial taqsimot (1) ga duch keldik. ehtimollikni odatdagidek, agar har bir tajribada A hodisa ehtimollik bilan ro`y bersa, n ta bog`liqsiz tajribalarda bu hodisaning marta ro`y berishlik ehtimolligi deb tushunish mumkin. Agar tajriba natijasida A hodisa kuzatilsa, bu holni shartli ravishda “yutuq”, aksincha hodisani “yutquziq” (yutuq emas”) deb tushunsak, ehtimollik n ta tajribada marta yutuq ro`y berganini ifodalaydi. O`z navbatida – har bir tajriba uchun yutuq ehtimolligi bo`ladi.
Download 264.85 Kb.
Do'stlaringiz bilan baham:
