Tema: Matematik túsınik, aniqlama, aksioma hám teoremalardıń logikaliq duzilisı. Kırısıw

Teoremalardıń logikaliq duzilisı

Teorema sózi grekshe sóz bolıp, onıń leksikalogik mánisi «qarab shıǵaman» yamasa «o'ylab kóremen» bolıp esaplanadı, sol sebepli de mektep matematika kursda teoremaga tómendegishe anıqlama berilgen:

< Tastıyıqlawdı tatab etetuǵın matematikalıq húkim teorema dep ataladı >. Mektep matematika kursinan teoremalardıń tómendegi túrleri bar bolıp tabıladı:
1. Tuwrı teorema.
2. Teris teorema.
3. Tuwrı teoremaga keri teorema.
4. Teris teoremaga keri teorema.
Tuwrı hám oǵan salıstırǵanda kerı bo'lǵan teorema túsinikleri oqıwshılardıń sanasında sáwlenenıwı- VI klass geometriya kursdıń birinshi sabaqlarınan baslap ámelge asırıw kerek. Misalı, tómendegi eki túsinikti alıp qaraylıq.
1. Bul figura parallelogramm bolıp tabıladı.
2. Bul figura tórtmuyush bolıp tabıladı.
Berilgen bul eki húkim óz-ara baylanıslı. Basqasha aytqanda, birinshisiniń haqıyqatlıǵınan ekinshiniń haqıyqatlıǵı kelip shıǵadı, biraq ekinshisiniń bar ekenliginen birinshisiniń haqıyqatlıǵı kelip shiǵabermeydı. Eger bul baylanısıwdı simvolik túrde jazatuǵın bolsaq ol tómendegishe boladı :



tórtmuyesh

parallelogramm

Bul jerde biz paralellogramlar klasın tórtmuyushler klasına kirgizdik. Joqarıdaǵı sıyaqlı baylanısıwlar geometriya kursda birinshi sabaqlarınan baslap tekserip atırǵan matematikalıq húkimlerdiń ishki óz-ara baylanısıwın ashıp beredi. Mısalı, «Ishki almasinıwshi múyeshler óz-ara teń» degen hukmni simvolik halda tómendegishe jazıw múmkin:

Teń muyshler

Ishki almasinuwshi múyeshler

Bul jerde ishki almasinıwshı múyeshler bar bolsa, ol halda olar teń boladı, degen pikir tastıyıqlanadi. Eger jónelis teris tárepke qóyılsa, bunday oy-pikir payda boladı: «Eger múyeshler teń bolsa, ol halda olar ishki almasinıwshi múyeshlerdir». Eger teoremadagi shárt hám juwmaqtıń óz-ara baylanıslıIigini «eger», «Ol halda» sózleri menen baylanıstırılsa, bunda oqıwshılar teoremaning shárti, nátiyjesi hám olar arasındaǵı baylanısıw haqqında tereńrek oyda sawlelendiriwge iye boladı.

Mısalı, Eger bir úshmúyeshliktiń eki tárepi ekinshi úshmúyeshliktıń eki tárepine uyqas túrde teń bolsa, bunday úshmúyeshlikler teń boladı. Bul aytılǵan teoremaniń shártinen onıń juwmaǵı kelip shıqpaydı, biraq onıń juwmaǵınan shárti mudamı kelip shıǵadı. Sol sebepli onı simvolik túrde bunday jazıw múmkin:



Úshmúyeshlikler
teń

Bir úshmúyeshliktiń eki tárepi ekinshi
úshmúyeshliktiń eki tárepine uyqas
túrde teń bo'isa

Mektep geometriya kursnan sonday teoremalar bar, olardıń shártidan juwmaǵınıń tuwrılıǵı hám kerisinshe, juwmaǵınan shártiniń tuwrılıǵı kelip shıǵadı. Mısalı :

1. 
   Eger tuwrı sızıq múyesh bissektrisasi bolsa, ol beretuǵın múyeshni teń ekige boledı. Buǵan teris bolǵan teorema da orınlı bolıp tabıladı: «Eger tuwrı sızıq múyeshni teń ekige bolsa, bul tuwrı sızıq sol múyeshning bissektrisasidir». Bul aytılǵanlardı simvolik túrde bunday jazıw múmkin:
   

Múyesh teń ekige bólinedi

Eger tuwrı sızıq múyesh
bissektrisasi bolsa

Bunnan usıdan ayqın boladı, teorema shártining bar ekenliginen onıń juwmaǵınıń haqıyqıylıǵı kelip shıqsa hám kerisinshe, onıń juwmaǵınıń bar ekenliginen haqıyqatlıǵı kelib shıqsa, teoremaning shárt hám juwmaqlarida qatnasıp atırǵan «Eger» hám «Ol halda» baylawlarınıń orınların ózgeredi. Eger biz shártli túrde berilgen teoremani tuwrı teorema desek, bul teoremadagi shárt hám juwmaqlardıń orınlarındı almastırıw nátiyjesinde payda etińan teoremani kerı teorema dep ataladı. Endi tuwrı hám kerı teoremalarning beriliwi hám de olardı tastıyıqlaw
stilistikanı kórip shıǵayıq.
Tuwri teorema: «Eger úshmúyeshliktiń qandayda bir tárepi úlken bolsa, ol halda áne sol úlken tárep aldınanında úlken múyesh jatadı».
Berilgen B C > AB
Dalillew kerek : A > C

33- sızılma

Dalillew: ABC úshmúyeshliktiń BC tárepinde AB tárepke teń BD=AB kesindin ólshep, áne sol D noqattı A noqat menen birlestiriledi (33-sızılma ), nátiyjede ABD teń qaptalli úshmúyeshlik payda boladı. ABD ushmuyesh teń qaptallı bólǵan ushin
BDA muyesh ADC muyeshtıń sırtqı muyshı bólǵanı ushun ekenı kelıp shıǵadı.
Bul jerde BAD muyesh A muyshtıń bir bólegı. Sonıń ushin .
Kerı teorema: Eger uyshmuyshtiktıń qandayda bir muyshı ulken bolsa, onda sol ulken muyshtıń qarsısında ulken tarep jatadı .
Berılgen: ∆ABC, .
Dálıllew kerek: B C > AB.
Dálıllew. 1) ABC úshmúyeshliktiń AB tárepi hesh qashan BC tárepinen úlken bola almaydı, sebebi tuwrı teoremada biz úlken tárep aldınanında úlken múyesh jatadı, dep tastıyıq etdik, keri jaǵdayda L C> LA ligi kelip shıǵadı, bul bolsa teorema shártiga bolıp tabıladı.
1) ABC úshmúyeshliktiń AB tárepi hesh qashan BC tárepinen úlken bola almaydı, sebebi tuwrı teoremada biz úlken tárep aldınanında úlken múyesh jatadı, dep tastıyıq etdik, keri jaǵdayda ekenı kelip shıǵadı, bul bolsa teorema shártiga qarsı bolıp tabıladı.
2) AB tárep BC tárepke teń da bola almaydı, sebebi ABC teń qaptallı emes, eger teń qaptallı bolǵanda edi C > A teńlik orınlı bolıp, bul da teorema shártiga qarsı bo'lar edi.
3) Eger AB tárep BC tárepden úlken bolmasa yamasa oǵan teń bolmasa,
ol halda BC > AB ligi kelip shıǵadı.
2)Tuwrı teorema: Eger úshmúyeshliktiń tárepleri teń bólsa, ol halda berjaqlar aldınanında teń múyeshler jatadı.

34-sızılma
Berilgen AC > CB Dálıllew kerek: .
Dálıllew. ABC tiykarǵı AB bolǵan teń qaptallı úshmúyeshlik bolsın. A= B ekenligi tastıyıqlanadı. Ol úshmúyeshlikler teńliginiń birinshi belgisine kore CAB múyesh CAB múyeshka teń boladı, sebebi CA=CB hám C= C. Bul úshmúyeshliklerdiń teńliginen: A= B.
Kerı teorema. Eger úshmúyeshliktiń múyeshleri óz-ara teń bolsa, onda bul
múyeshler aldınanında teń tárepler jatadı (35- sızılma ).

35-sızılma
Berilgen . Dálıllew kerek: .
Dálıllew: 1) BC tárep AB tárepten ulken bólmaydı, yamasa aldınǵı dálıllengen teoremaǵa kóre A > C bolatın edı, bul teoremaǵa shártıne qarsı bolıp esaplanadı.

Akisioma grekshe axioma sózinen alınǵan bolıp, onıń leksikalogik

mánisi «obroyǵa iye bolǵan gáp» bolıp esaplanadı. Sol sebepli de
akisiomaǵa mektep matematika kursinda tómendegishe anıqlama berilgen:
«Anıqlamasız qabıl etiletuǵın matematikalıq húkim akisioma deyiledi».
akisioma tiykarlanıp eń ápiwayı geometriyalıq figura yamasa ápiwayı matematikalıq nizamlıqlardıń tiykarǵı ózgesheliklerin ańlatiwshı hukm bolıp tabıladı.